Problema 08. Suponha que
seja um número real tal que
. Calcule o valor de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade
O que nos pede é calcular o valor de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Está dada a igualdade envolvendo a função
aplicada a um certo argumento. - O argumento do seno é
. - Precisamos encontrar o cosseno de um argumento muito parecido:
. - Não há outros dados numéricos sobre
; portanto a solução deve explorar relações algébricas e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos comparar os dois argumentos e mostrar que eles são iguais. Defina
Subtraindo,
Agrupando os termos como diferenças de potências:
Como
, segue
Substituindo em
:
Portanto
Isso é ótimo: o argumento do
dado no enunciado e o argumento do
que queremos calcular são exatamente o mesmo número. Logo, se chamarmos esse argumento de
,
temos
e queremos
.
Passo 3
Agora usemos a identidade pitagórica para relacionar
e
:
Como
, calculamos
Portanto o módulo de
é
Ainda resta decidir o sinal de
(positivo ou negativo).
Passo 4
Precisamos saber em que quadrante está
, ou ao menos se
é positivo ou negativo. Lembrando
, escrevemos
, com
. Então
Reescrevendo como quadrado perfeito mais constante:
Como
e atinge no máximo
quando
, obtemos o intervalo
Numericamente,
e
. Note que
e
, então
pertence ao intervalo
(ou seja, segundo quadrante), onde o seno é positivo e o cosseno é negativo. Isso confirma que
.
Passo 5
Juntando:
e
tem módulo
e é negativo. Portanto
Como
é exatamente o argumento que precisamos (
), esse é o valor pedido.