Problema 08. Suponha que x seja um número real tal que \operatorname{sen}\left(1+\cos ^{2} x+\operatorname{sen}^{4} x\right)=\frac{13}{14}. Calcule o valor de \cos \left(1+\operatorname{sen}^{2} x+\cos ^{4} x\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
\operatorname{sen}\bigl(1+\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{4}x\bigr)=\frac{13}{14}.
O que nos pede é calcular o valor de
\cos\bigl(1+\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{4}x\bigr).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Está dada a igualdade envolvendo a função \operatorname{sen} aplicada a um certo argumento.
  • O argumento do seno é 1+\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{4}x.
  • Precisamos encontrar o cosseno de um argumento muito parecido: 1+\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{4}x.
  • Não há outros dados numéricos sobre x; portanto a solução deve explorar relações algébricas e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos comparar os dois argumentos e mostrar que eles são iguais. Defina
A=1+\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{4}x, \qquad B=1+\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{4}x.
Subtraindo,
A-B=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{sen}^{4}x-\cos^{4}x.
Agrupando os termos como diferenças de potências:
\operatorname{sen}^{4}x-\cos^{4}x=(\operatorname{sen}^{2}x-\cos^{2}x)(\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x).
Como \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1, segue
\operatorname{sen}^{4}x-\cos^{4}x=\operatorname{sen}^{2}x-\cos^{2}x.
Substituindo em A-B:
A-B=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x+(\operatorname{sen}^{2}x-\cos^{2}x)=0.
Portanto
A=B.
Isso é ótimo: o argumento do \operatorname{sen} dado no enunciado e o argumento do \cos que queremos calcular são exatamente o mesmo número. Logo, se chamarmos esse argumento de \theta,
\theta=1+\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{4}x=1+\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{4}x,
temos \operatorname{sen}\theta=\dfrac{13}{14} e queremos \cos\theta.

Passo 3

Agora usemos a identidade pitagórica para relacionar \operatorname{sen}\theta e \cos\theta:
\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Como \operatorname{sen}\theta=\dfrac{13}{14}, calculamos
\cos^{2}\theta=1-\operatorname{sen}^{2}\theta =1-\left(\frac{13}{14}\right)^{2} =1-\frac{169}{196} =\frac{27}{196}.
Portanto o módulo de \cos\theta é
|\cos\theta|=\sqrt{\frac{27}{196}}=\frac{\sqrt{27}}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{14}.
Ainda resta decidir o sinal de \cos\theta (positivo ou negativo).

Passo 4

Precisamos saber em que quadrante está \theta, ou ao menos se \cos\theta é positivo ou negativo. Lembrando \theta=A, escrevemos t=\cos^{2}x, com 0\le t\le1. Então
\theta=1+\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{4}x =1+t+(1-t)^{2} =1+t+1-2t+t^{2} =2-t+t^{2}.
Reescrevendo como quadrado perfeito mais constante:
\theta=(t-\tfrac{1}{2})^{2}+\tfrac{7}{4}.
Como (t-\tfrac{1}{2})^{2}\ge0 e atinge no máximo \tfrac{1}{4} quando t\in[0,1], obtemos o intervalo
\frac{7}{4}\le\theta\le2.
Numericamente, \tfrac{7}{4}=1{,}75 e 2. Note que \tfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708 e \pi\approx3{,}1416, então \theta pertence ao intervalo (\tfrac{\pi}{2},\pi) (ou seja, segundo quadrante), onde o seno é positivo e o cosseno é negativo. Isso confirma que \cos\theta<0.

Passo 5

Juntando: \operatorname{sen}\theta=\dfrac{13}{14} e \cos\theta tem módulo \dfrac{3\sqrt{3}}{14} e é negativo. Portanto
\cos\theta=-\frac{3\sqrt{3}}{14}.
Como \theta é exatamente o argumento que precisamos ( \theta=1+\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{4}x), esse é o valor pedido.

Resposta

-\dfrac{3\sqrt{3}}{14}

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