Problema 8. (11.21 Beer). A aceleração de uma partícula é definida pela relação a=-0.8 v, onde a é expressa em \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} e v em \mathrm{m} / \mathrm{s}. Sabendo que em t=0 a velocidade é 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine (a) a distância que a partícula percorrerá antes de parar, (b) o tempo necessário para que a velocidade da partícula seja 0.5 m/s.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre aceleração e velocidade e uma condição inicial; pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • A aceleração é a=-0{,}8\,v, com a em \mathrm{m/s^2} e v em \mathrm{m/s}.
  • Em t=0 a velocidade é v(0)=1\\ \mathrm{m/s}.
O que é pedido:
(a) a distância que a partícula percorrerá antes de parar (distância total até a velocidade tender a zero);
(b) o tempo necessário para que a velocidade atinja 0{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Entendendo as quantidades e as relações que vamos usar (aulas rápidas e amigáveis).
  • Aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Em símbolos: a=\dfrac{dv}{dt}. Aqui v=v(t) é a velocidade em função do tempo t.
  • Podemos também relacionar aceleração com variação da velocidade em função da posição x. Como v=\dfrac{dx}{dt}, pela regra da cadeia:
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
Isso significa que a=v\,dv/dx. Vou usar essas duas formas conforme for conveniente: a primeira é ótima para achar v(t), a segunda é muito prática para achar distância percorrida quando a aceleração é dada em função de v.

Passo 3

Resolver a equação para v(t) (mostrar passo a passo como resolver a ODE).
A relação dada é
\frac{dv}{dt}=-0{,}8\,v.
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Faço separação de variáveis:
\frac{dv}{v}=-0{,}8\,dt.
Agora integro ambos os lados (constante de integração C):
\int\frac{dv}{v}=\int -0{,}8\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|v|=-0{,}8t+C.
Exponenciando os dois lados temos v(t)=C_1 e^{-0{,}8t}, onde C_1=e^{C} é constante positiva (velocidade aqui é positiva inicialmente). Uso a condição inicial v(0)=1:
v(0)=C_1 e^{0}=C_1=1.
Portanto a solução para a velocidade é
v(t)=e^{-0{,}8t}\quad\text{(em m/s).}
Comentário rápido e amigo: essa é a típica solução exponencial decrescente — a velocidade vai caindo e se aproxima de zero quando t\to\infty, nunca chegando exatamente a zero em tempo finito.

Passo 4

Determinar o tempo para a velocidade ser 0{,}5\\ \mathrm{m/s} (parte (b)).
Temos v(t)=e^{-0{,}8t}. Igualo a 0{,}5:
0{,}5=e^{-0{,}8t}.
Tomo o logaritmo natural dos dois lados para isolar t:
\ln(0{,}5)=-0{,}8t.
Como \ln(0{,}5)=-\ln 2, segue
t=\frac{\ln 2}{0{,}8}.
Faço o cálculo numérico (mostrando a conta para poder fazer na prova):
\ln 2\approx 0{,}693147\quad\Rightarrow\quad t\approx\frac{0{,}693147}{0{,}8}\approx0{,}866434\\ \mathrm{s}.
Arredondando convenientemente para três algarismos significativos:
t\approx0{,}866\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Determinar a distância total percorrida até a partícula “parar” (parte (a)). Explico duas maneiras equivalentes — escolha a que preferir na prova.
Método A — integrar v(t) no tempo (direto com a solução que já temos):
A distância percorrida até o instante T é \displaystyle x(T)=\int_{0}^{T} v(t)\,dt. Como a velocidade tende a zero apenas quando T\to\infty, a distância total até “parar” é
x_{\infty}=\int_{0}^{\infty} e^{-0{,}8t}\,dt.
Esta é uma integral conhecida de exponencial decrescente. Calculo:
\int_{0}^{\infty} e^{-0{,}8t}\,dt=\left[-\frac{1}{0{,}8}e^{-0{,}8t}\right]_{0}^{\infty}=\left(0\right)-\left(-\frac{1}{0{,}8}\right)=\frac{1}{0{,}8}.
Logo
x_{\infty}=\frac{1}{0{,}8}=1{,}25\\ \mathrm{m}.
Método B — usar a=v\,dv/dx (curto e elegante, evita integrar até \infty):
Parto da identidade a=v\,\dfrac{dv}{dx}. Substituo a=-0{,}8v:
v\frac{dv}{dx}=-0{,}8v.
Se v\neq0 posso dividir por v, obtendo
\frac{dv}{dx}=-0{,}8.
Isto diz que dv=-0{,}8\,dx. Integro entre a condição inicial v(0)=1 (correspondente a x=0) e o momento em que v=0 (quando a partícula parou):
\int_{1}^{0} dv=-0{,}8\int_{0}^{x_{\infty}} dx.
Escrevendo as integrais:
-1=-0{,}8\,x_{\infty}\quad\Rightarrow\quad x_{\infty}=\frac{1}{0{,}8}=1{,}25\\ \mathrm{m}.
Mesmo resultado; observação importante: aqui a velocidade chega a zero somente quando percorrida essa distância — o tempo para atingir exatamente v=0 é infinito, mas a distância total é finita. Conceito físico curioso e muito comum em fricção proporcional à velocidade.

Passo 6

Resumo das respostas num formato limpo para conferir rapidamente (vou deixar só os valores finais aqui, do jeito que pediu).

Resposta

1{,}25\\ \mathrm{m}
0{,}866\\ \mathrm{s}

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