Problema 8. (11.21 Beer). A aceleração de uma partícula é definida pela relação
, onde
é expressa em
e
em
. Sabendo que em
a velocidade é
, determine (a) a distância que a partícula percorrerá antes de parar, (b) o tempo necessário para que a velocidade da partícula seja 0.5 m/s.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre aceleração e velocidade e uma condição inicial; pede duas coisas. Informações fornecidas:
- A aceleração é
, com em e em . - Em
a velocidade é .
O que é pedido:
(a) a distância que a partícula percorrerá antes de parar (distância total até a velocidade tender a zero);
(b) o tempo necessário para que a velocidade atinja .
(a) a distância que a partícula percorrerá antes de parar (distância total até a velocidade tender a zero);
(b) o tempo necessário para que a velocidade atinja
Passo 2
Entendendo as quantidades e as relações que vamos usar (aulas rápidas e amigáveis).
- Aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Em símbolos:
. Aqui é a velocidade em função do tempo . - Podemos também relacionar aceleração com variação da velocidade em função da posição
. Como , pela regra da cadeia:
Isso significa que
. Vou usar essas duas formas conforme for conveniente: a primeira é ótima para achar
, a segunda é muito prática para achar distância percorrida quando a aceleração é dada em função de
.
Passo 3
Resolver a equação para
(mostrar passo a passo como resolver a ODE).
A relação dada é
A relação dada é
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Faço separação de variáveis:
Agora integro ambos os lados (constante de integração
):
Exponenciando os dois lados temos
, onde
é constante positiva (velocidade aqui é positiva inicialmente). Uso a condição inicial
:
Portanto a solução para a velocidade é
Comentário rápido e amigo: essa é a típica solução exponencial decrescente — a velocidade vai caindo e se aproxima de zero quando
, nunca chegando exatamente a zero em tempo finito.
Passo 4
Determinar o tempo para a velocidade ser
(parte (b)).
Temos . Igualo a
:
Temos
Tomo o logaritmo natural dos dois lados para isolar
:
Como
, segue
Faço o cálculo numérico (mostrando a conta para poder fazer na prova):
Arredondando convenientemente para três algarismos significativos:
Passo 5
Determinar a distância total percorrida até a partícula “parar” (parte (a)). Explico duas maneiras equivalentes — escolha a que preferir na prova.
Método A — integrar
no tempo (direto com a solução que já temos):
A distância percorrida até o instante é
. Como a velocidade tende a zero apenas quando
, a distância total até “parar” é
A distância percorrida até o instante
Esta é uma integral conhecida de exponencial decrescente. Calculo:
Logo
Método B — usar
(curto e elegante, evita integrar até
):
Parto da identidade . Substituo
:
Parto da identidade
Se
posso dividir por
, obtendo
Isto diz que
. Integro entre a condição inicial
(correspondente a
) e o momento em que
(quando a partícula parou):
Escrevendo as integrais:
Mesmo resultado; observação importante: aqui a velocidade chega a zero somente quando percorrida essa distância — o tempo para atingir exatamente
é infinito, mas a distância total é finita. Conceito físico curioso e muito comum em fricção proporcional à velocidade.
Passo 6
Resumo das respostas num formato limpo para conferir rapidamente (vou deixar só os valores finais aqui, do jeito que pediu).