Problema 11 Considere as matrizes 2 \times 2 abaixo
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\ 5 & 2\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\ 4 & 4\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{cc}6 & 4 \\\ -2 & -1\end{array}\right]
Use as matrizes A e B para verificar a identidade \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)

Passo 1

O enunciado dá três matrizes 2\times2:
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}6 & 4\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}
e pede: usar as matrizes A e B para verificar a identidade \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A).
Informações relevantes que temos:
  • Os elementos numéricos de A e B (listados acima).
  • A tarefa é calcular A B e B A (ou pelo menos suas traças) e comparar \operatorname{tr}(A B) com \operatorname{tr}(B A).
  • A matriz C foi fornecida no enunciado, mas a verificação pedida envolve apenas A e B.]

Passo 2

Vamos lembrar duas coisas fundamentais (explicadas devagarinho):
  1. Definição da multiplicação de matrizes (entrada por entrada). Se A e B são 2\times2,
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt]a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\[4pt]b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então o produto AB é a matriz 2\times2 cujas entradas são dadas por
(AB)_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21},
(AB)_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22},
(AB)_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21},
(AB)_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}.
Isto é: cada entrada é a soma dos produtos dos elementos da linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da coluna da segunda.
  1. Definição da traça. Para uma matriz quadrada M de ordem n, a traça \operatorname{tr}(M) é a soma dos elementos da diagonal principal:
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} M_{ii}.
No caso 2\times2,
\operatorname{tr}\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12}\\[4pt]m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}=m_{11}+m_{22}.]

Passo 3

Agora vamos calcular A B passo a passo usando as fórmulas do passo anterior.
Usando
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix},
calculemos cada entrada de AB:
  • Entrada (1,1):
(AB)_{11}=3\cdot 2 + 1\cdot 4 = 6 + 4 = 10.
  • Entrada (1,2):
(AB)_{12}=3\cdot(-3) + 1\cdot 4 = -9 + 4 = -5.
  • Entrada (2,1):
(AB)_{21}=5\cdot 2 + 2\cdot 4 = 10 + 8 = 18.
  • Entrada (2,2):
(AB)_{22}=5\cdot(-3) + 2\cdot 4 = -15 + 8 = -7.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}10 & -5\\[4pt]18 & -7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculemos B A da mesma forma:
Usando
B=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix},
as entradas de BA são:
  • Entrada (1,1):
(BA)_{11}=2\cdot 3 + (-3)\cdot 5 = 6 - 15 = -9.
  • Entrada (1,2):
(BA)_{12}=2\cdot 1 + (-3)\cdot 2 = 2 - 6 = -4.
  • Entrada (2,1):
(BA)_{21}=4\cdot 3 + 4\cdot 5 = 12 + 20 = 32.
  • Entrada (2,2):
(BA)_{22}=4\cdot 1 + 4\cdot 2 = 4 + 8 = 12.
Portanto
BA=\begin{pmatrix}-9 & -4\\[4pt]32 & 12\end{pmatrix}.]

Passo 5

Vamos calcular as traças e comparar.
Para AB já encontrado,
AB=\begin{pmatrix}10 & -5\\[4pt]18 & -7\end{pmatrix},
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\operatorname{tr}(AB)=10 + (-7)=3.
Para BA,
BA=\begin{pmatrix}-9 & -4\\[4pt]32 & 12\end{pmatrix},
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\operatorname{tr}(BA)=-9 + 12 = 3.
Conclusão numérica: \operatorname{tr}(AB)=3=\operatorname{tr}(BA). Assim a identidade foi verificada para estas matrizes.]

Passo 6

Breve explicação geral (para você poder usar isso na prova): por que isso acontece em geral? Para matrizes n\times n temos
\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^{n} (AB)_{ii}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{ki}.
Trocando a ordem das somas (o que é permitido) e reindexando, obtemos
\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{ki}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n} B_{ki}A_{ik}=\sum_{k=1}^{n} (BA)_{kk}=\operatorname{tr}(BA).
Ou seja, \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA) para quaisquer matrizes quadradas A e B compatíveis. No nosso caso numérico acima isso se confirmou com \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)=3.

Resposta

\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)=3

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