Problema 11 Considere as matrizes
abaixo
Use as matrizes
e
para verificar a identidade
Passo 1
O enunciado dá três matrizes
:
e pede: usar as matrizes
e
para verificar a identidade
.
Informações relevantes que temos:
- Os elementos numéricos de
e (listados acima). - A tarefa é calcular
e (ou pelo menos suas traças) e comparar com . - A matriz
foi fornecida no enunciado, mas a verificação pedida envolve apenas e .]
Passo 2
Vamos lembrar duas coisas fundamentais (explicadas devagarinho):
- Definição da multiplicação de matrizes (entrada por entrada). Se
e são ,
então o produto
é a matriz
cujas entradas são dadas por
Isto é: cada entrada é a soma dos produtos dos elementos da linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da coluna da segunda.
- Definição da traça. Para uma matriz quadrada
de ordem , a traça é a soma dos elementos da diagonal principal:
No caso
,
Passo 3
Agora vamos calcular
passo a passo usando as fórmulas do passo anterior.
Usando
calculemos cada entrada de
:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
Portanto
Passo 4
Agora calculemos
da mesma forma:
Usando
as entradas de
são:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
Portanto
Passo 5
Vamos calcular as traças e comparar.
Para
já encontrado,
logo
Para
,
logo
Conclusão numérica:
. Assim a identidade foi verificada para estas matrizes.]
Passo 6
Breve explicação geral (para você poder usar isso na prova): por que isso acontece em geral? Para matrizes
temos
Trocando a ordem das somas (o que é permitido) e reindexando, obtemos
Ou seja,
para quaisquer matrizes quadradas
e
compatíveis. No nosso caso numérico acima isso se confirmou com
.