Problema 11 Considere as matrizes 2 \times 2 abaixo
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\ 5 & 2\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\ 4 & 4\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{cc}6 & 4 \\\ -2 & -1\end{array}\right]
Use as matrizes A e B para verificar a identidade (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}

Passo 1

O enunciado dá três matrizes 2\times2. As que vamos usar são
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix}.
O que a questão pede: verificar, usando A e B, a identidade
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Isso significa calcular explicitamente (AB)^{-1} e calcular B^{-1}A^{-1} e mostrar que são iguais.]

Passo 2

Primeiro calculamos o produto AB. Para multiplicar matrizes 2\times2 usamos a definição: se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt]a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\[4pt]b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} a_{ik}b_{kj}.
Aplicando aos números:
AB=\begin{pmatrix} 3\cdot2+1\cdot4 & 3\cdot(-3)+1\cdot4\\[4pt] 5\cdot2+2\cdot4 & 5\cdot(-3)+2\cdot4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}10 & -5\\[4pt]18 & -7\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para inverter uma matriz 2\times2 usamos a fórmula padrão: se
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
então o determinante é \det(M)=ad-bc. Se \det(M)\neq0, a inversa é
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui explico por que isso funciona, de forma simples: multiplicando M por essa matriz obtemos a identidade porque as entradas se combinam para dar o delta de Kronecker; o fator 1/\det(M) surge para normalizar o produto. O ponto importante: \det(M)\neq0 garante inversibilidade.]

Passo 4

Calculamos o determinante de AB:
\det(AB)=10\cdot(-7)-(-5)\cdot18=-70+90=20,
portanto invertível. Aplicando a fórmula do passo anterior:
(AB)^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}-7 & 5\\[4pt]-18 & 10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{7}{20} & \tfrac{1}{4}\\[6pt]-\tfrac{9}{10} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos A^{-1}. Primeiro \det(A):
\det(A)=3\cdot2-1\cdot5=6-5=1.
Como o determinante é 1 (não-zero), a inversa é simplesmente
A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix}.
(Usei a fórmula do passo 3 com \det(A)=1.)]

Passo 6

Calculamos B^{-1}. Primeiro \det(B):
\det(B)=2\cdot4-(-3)\cdot4=8+12=20.
Então
B^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]-4 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{20}\\[6pt]-\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{10}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora multiplicamos B^{-1}A^{-1}. Usamos a definição de multiplicação de matrizes do passo 2. Tomando
B^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]-4 & 2\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix},
temos
B^{-1}A^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix} 4\cdot2+3\cdot(-5) & 4\cdot(-1)+3\cdot3\\[6pt] -4\cdot2+2\cdot(-5) & -4\cdot(-1)+2\cdot3 \end{pmatrix}.
Calculando as somas:
\begin{aligned} 4\cdot2+3\cdot(-5)&=8-15=-7,\\[4pt] 4\cdot(-1)+3\cdot3&=-4+9=5,\\[4pt] -4\cdot2+2\cdot(-5)&=-8-10=-18,\\[4pt] -4\cdot(-1)+2\cdot3&=4+6=10. \end{aligned}
Portanto
B^{-1}A^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}-7 & 5\\[4pt]-18 & 10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{7}{20} & \tfrac{1}{4}\\[6pt]-\tfrac{9}{10} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Comparando os resultados obtidos:
(AB)^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{7}{20} & \tfrac{1}{4}\\[6pt]-\tfrac{9}{10} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{7}{20} & \tfrac{1}{4}\\[6pt]-\tfrac{9}{10} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
São exatamente iguais, logo a identidade foi verificada para essas matrizes.]

Resposta

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{7}{20} & \tfrac{1}{4}\\[6pt]-\tfrac{9}{10} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}]

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