Problema 12 Em cada item abaixo, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar fornecida à matriz identidade. E=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
e pede: encontre uma operação com linhas que transforme essa matriz em I_4 (a matriz identidade 4\times4) e a matriz elementar correspondente a essa operação. Informação importante fornecida: os elementos de E estão todos explícitos (veja a matriz acima).
Nada mais foi pedido além da operação com linhas e da matriz elementar que, ao ser aplicada a E, retorna I_4.]
Passo 2
O que é uma operação com linhas e o que é uma matriz elementar? Vou explicar devagarinho e com carinho.
Operações elementares sobre linhas são três tipos: (i) trocar duas linhas entre si; (ii) multiplicar uma linha por um número não nulo; (iii) adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações são as que você pode aplicar em eliminação de Gauss.
Cada operação elementar corresponde a multiplicar, pela esquerda, a matriz por uma certa matriz chamada matriz elementar. Para obter a matriz elementar que representa uma operação, basta aplicar essa mesma operação às linhas da matriz identidade I_4. O resultado é a matriz elementar.
Exemplo rápido e concreto: se a operação for trocar R_1 com R_2, então a matriz elementar é a identidade com R_1 e R_2 trocadas.
Passo 3
Vamos olhar com calma para E e comparar com I_4. A I_4 é
primeira linha de E é (0,0,1,0), que é a terceira linha de I_4;
segunda linha de E é (0,1,0,0), que é a segunda linha de I_4;
terceira linha de E é (1,0,0,0), que é a primeira linha de I_4;
quarta linha é igual à quarta de I_4.
Ou seja, E foi obtida a partir de I_4 trocando as linhas 1 e 3. Portanto, para voltar de E para I_4 basta trocar novamente R_1 e R_3.
Escrevendo a operação de forma usual:
Trocar R_1 e R_3 (ou em notação curta: R_1 \leftrightarrow R_3).
Se você aplicar essa troca em E, vamos ver explicitamente que resulta em I_4. Trocar R_1 e R_3 em E dá a matriz cujas linhas são, na ordem: (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) — que é justamente I_4. Logo a operação está correta.]
Passo 4
Agora, para achar a matriz elementar correspondente: lembrando a regra didática — aplicar a mesma operação à identidade nos dá a matriz elementar — vamos aplicar a troca R_1 \leftrightarrow R_3 em I_4. Fazendo isso obtemos
Repare que essa matriz é exatamente a matriz E dada no enunciado. Ou seja, a própria E é a matriz elementar que representa a troca R_1 \leftrightarrow R_3.]
Passo 5
Verificação final (pra ficar tranquilo): multiplicar pela esquerda por essa matriz elementar executa a troca de linhas. Então
E_{(R_1\leftrightarrow R_3)} \cdot E = E \cdot E
corresponde a fazer a troca R_1\leftrightarrow R_3 em E. Como E já foi obtida trocando R_1 e R_3 em I_4, trocar novamente volta ao original I_4. Portanto
E\cdot E = I_4,
confirmando que a matriz elementar desejada é a própria E e que a operação é a troca de R_1 com R_3.
Resposta
Operação com linhas: trocar R_1 e R_3 (ou R_1 \leftrightarrow R_3).
Matriz elementar correspondente: