Problema 12 Em cada item abaixo, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar fornecida à matriz identidade.
D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -5 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
D=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -5 & 0 & 1\end{pmatrix}
e pede: qual operação com linhas, aplicada à matriz identidade, gera essa matriz elementar? E qual é a matriz elementar correspondente (ou seja, a matriz que se obtém ao aplicar essa operação à identidade)?]

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): uma matriz elementar é exatamente a matriz que se obtém ao aplicar UMA única operação elementar de linha à matriz identidade. Existem três tipos de operações elementares de linha:
\text{(a) trocar duas linhas},\qquad \text{(b) multiplicar uma linha por um escalar não nulo},\qquad \text{\text{(c)} adicionar um múltiplo de uma linha a outra.}ãú
Quando aplicamos a operação do tipo (c) R_j \leftarrow R_j + kR_i sobre a identidade I, o resultado é uma matriz igual a I exceto pela posição (j,i), que passa a valer k. Em símbolos: a matriz elementar tem 1s na diagonal, zeros em todas as outras posições, salvo um valor k na entrada (j,i).

Passo 3

Compare D com a matriz identidade I:
I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Observação direta: D difere de I apenas na entrada da terceira linha, primeira coluna, onde I tem 0 e D tem -5. Todas as outras entradas coincidem com I.]

Passo 4

Pelo que vimos no Passo 2, a alteração única em D indica uma operação do tipo “adicionar um múltiplo de uma linha a outra”. Como o elemento alterado está na posição (3,1), a operação envolve R_1 e R_3, isto é, uma operação do tipo
R_3 \leftarrow R_3 + kR_1.
Precisamos achar k tal que a terceira linha de I, que é (0,0,1), passe a ser (-5,0,1). Fazemos a conta componente a componente:
(0,0,1) + k(1,0,0) = (k,\,0,\,1) \overset{!}{=} (-5,\,0,\,1).
Dessa igualdade obtemos k=-5. Logo a operação é
R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1.

Passo 5

Aplicando explicitamente essa operação à identidade para ver que obtemos D:
a terceira linha de I é (0,0,1). Somando -5 vezes a primeira linha (1,0,0) obtemos
R_3' = (0,0,1) + (-5)(1,0,0) = (-5,0,1).
Substituindo na identidade obtemos
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -5 & 0 & 1\end{pmatrix},
que é exatamente D. Portanto a matriz elementar correspondente à operação é D mesma.]

Resposta

R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1\n \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -5 & 0 & 1\end{pmatrix}]

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