Duas fontes sincronizadas estão separadas de d. Considere um ponto sobre o mesmo eixo, distando x de uma e x+d da outra. Qual a condição para que haja interferência construtiva no ponto? E para que seja destrutiva?

Passo 1

O enunciado nos dá estas informações e pede isto:
  • Duas fontes sincronizadas (mesma frequência e mesma fase no instante inicial) estão separadas por d.
  • Considera-se um ponto sobre o mesmo eixo das fontes, a distância x de uma fonte e x+d da outra.
  • Perguntas:
    • Qual a condição para que haja interferência construtiva nesse ponto?
    • Qual a condição para que haja interferência destrutiva nesse ponto?

Passo 2

Entender o que importa para interferência: o que determina se duas ondas somam de forma reforçadora (construtiva) ou anuladora (destrutiva) é a diferença de caminho percorrido pelas ondas até o ponto, chamada diferença de caminho \Delta, que se traduz em diferença de fase \varphi. Vamos calcular a diferença de caminho dada no enunciado.

Passo 3

Calcular a diferença de caminho \Delta:
\Delta = (x+d) - x = d.
Observação importante: a diferença de caminho é exatamente d e independe de x. Ou seja, cada onda percorre caminhos que diferem em d.

Passo 4

Converter diferença de caminho em diferença de fase. A relação entre diferença de caminho \Delta e diferença de fase \varphi é
\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta,
onde \lambda é o comprimento de onda. Como \Delta=d,
\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,d.
Interferência construtiva ocorre quando as ondas chegam em fase, isto é, quando a diferença de fase é um múltiplo inteiro de 2\pi:
\varphi = 2\pi m,\qquad m\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Traduzir a condição de fase para diferença de caminho. Substituindo \varphi:
\frac{2\pi}{\lambda}\,d = 2\pi m \quad\Longrightarrow\quad d = m\lambda,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Portanto, a condição para interferência construtiva é
d = m\lambda,\qquad m=0,1,2,\dots
(ou m inteiro negativo se considerar orientação, mas normalmente listamos m\ge0).

Passo 6

Condição para interferência destrutiva. Interferência destrutiva (anulação máxima) acontece quando as ondas chegam em oposição de fase, isto é, a diferença de fase vale um múltiplo ímpar de \pi:
\varphi = (2m+1)\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Usando \varphi=\dfrac{2\pi}{\lambda}d,
\frac{2\pi}{\lambda}\,d = (2m+1)\pi \quad\Longrightarrow\quad d = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,\qquad m\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Resumo prático (como usar rápido na prova):
  • Calcule a diferença de caminho \Delta. Aqui ela já veio dada: \Delta=d.
  • Compare com \lambda:
    • Se \Delta é múltiplo inteiro de \lambda, vai ter reforço (construtiva).
    • Se \Delta é um meio-valor ímpar de \lambda ( \lambda/2,\;3\lambda/2,\dots), vai ter anulação (destrutiva).
      Dica de amigo: se na prova pedirem “há interferência construtiva?” verifique se d/\lambda é inteiro; se for, sim.

Resposta

Construtiva: d = m\lambda,\quad m\in\mathbb{Z}.
Destrutiva: d = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,\quad m\in\mathbb{Z}.

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