Problema 12: Se a for uma constante positiva. Então vale
Lf(t-a) U(t-a)=e^-a s F(s),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado e calcule:
L(t-3)^5 U(t-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com Transformadas de Laplace, especificamente usando uma propriedade que envolve a função de Heaviside, que é aquela função U(t - a). O problema nos pede para encontrar a Transformada de Laplace de (t - 3)^5 U(t - 3). Para isso, vamos usar a propriedade que relaciona a Transformada de uma função deslocada no tempo com a sua Transformada original.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a propriedade que vamos usar. Ela diz que se você tem uma função f(t - a) multiplicada por U(t - a), a Transformada de Laplace disso é e^-a s F(s), onde F(s) é a Transformada de Laplace de f(t). Matematicamente, isso fica:
Lf(t - a) U(t - a) = e^-a s F(s)

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes do nosso problema de acordo com essa propriedade. No nosso caso:
  • a = 3 (porque temos (t - 3) e U(t - 3))
  • f(t) = t^5 (já que (t - 3)^5 está deslocado por 3 unidades no tempo)

Passo 4

Segundo a propriedade, a Transformada de Laplace de (t - 3)^5 U(t - 3) será:
L(t - 3)^5 U(t - 3) = e^-3 s F(s)
onde F(s) = Lt^5.

Passo 5

Agora, precisamos calcular F(s) = Lt^5. Sabemos que a Transformada de Laplace de t^n é:
Lt^n = n!s^n+1
para n sendo um número inteiro não negativo.

Passo 6

Aplicando essa fórmula com n = 5:
Lt^5 = 5!s^6 = 120s^6

Passo 7

Agora, voltando à expressão que tínhamos:
L(t - 3)^5 U(t - 3) = e^-3 s cdot 120s^6

Resposta

A Transformada de Laplace de (t - 3)^5 U(t - 3) é:
L(t - 3)^5 U(t - 3) = 120, e^-3 ss^6

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