Problema 12: Se
for uma constante positiva. Então vale
em que
. Aplique esse resultado e calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com Transformadas de Laplace, especificamente usando uma propriedade que envolve a função de Heaviside, que é aquela função
. O problema nos pede para encontrar a Transformada de Laplace de
. Para isso, vamos usar a propriedade que relaciona a Transformada de uma função deslocada no tempo com a sua Transformada original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a propriedade que vamos usar. Ela diz que se você tem uma função
multiplicada por
, a Transformada de Laplace disso é
, onde
é a Transformada de Laplace de
. Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes do nosso problema de acordo com essa propriedade. No nosso caso:
-
(porque temos e ) -
(já que está deslocado por 3 unidades no tempo)
Passo 4
Segundo a propriedade, a Transformada de Laplace de
será:
onde
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que a Transformada de Laplace de
é:
para
sendo um número inteiro não negativo.
Passo 6
Aplicando essa fórmula com
:
Passo 7
Agora, voltando à expressão que tínhamos:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: