Problema 12: Se a for uma constante positiva. Então vale
Lf(t-a) U(t-a)=e^-a s F(s),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado e calcule:
L(t-3)^3 U(t-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a transformada de Laplace de $ (t-3)^{3} \mathcal{U}(t-3) $. A matéria envolvida é Transformada de Laplace, especificamente uma propriedade que lida com funções deslocadas no tempo usando a função de Heaviside $ \mathcal{U}(t-a) $. Vamos precisar aplicar essa propriedade para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função $ f(t) $ que está sendo deslocada. No caso, $ f(t) = t^{3} $. Então, $ f(t-3) = (t-3)^{3} $.

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace da função deslocada é dada por:
Lf(t-a) U(t-a) = e^-a s F(s)
onde $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $. Aqui, $ a = 3 $, então vamos aplicar essa fórmula.

Passo 4

Vamos calcular $ F(s) $, que é a transformada de Laplace de $ f(t) = t^{3} $. A transformada de $ t^{n} $ é:
F(s)
Neste caso, $ n = 3 $, então:
f(t) = t^3

Passo 5

Agora, substituímos $ F(s) $ na fórmula da transformada de Laplace da função deslocada:
F(s)

Resposta

Então, a transformada de Laplace de $ (t-3)^{3} \mathcal{U}(t-3) $ é:
(t-3)^3 U(t-3)

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