Problema 12: Se
for uma constante positiva. Então vale
em que
. Aplique esse resultado e calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a transformada de Laplace de $ (t-3)^{3} \mathcal{U}(t-3) $. A matéria envolvida é Transformada de Laplace, especificamente uma propriedade que lida com funções deslocadas no tempo usando a função de Heaviside $ \mathcal{U}(t-a) $. Vamos precisar aplicar essa propriedade para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função $ f(t) $ que está sendo deslocada. No caso, $ f(t) = t^{3} $. Então, $ f(t-3) = (t-3)^{3} $.
Passo 3
Sabemos que a transformada de Laplace da função deslocada é dada por:
onde $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $. Aqui, $ a = 3 $, então vamos aplicar essa fórmula.
Passo 4
Vamos calcular $ F(s) $, que é a transformada de Laplace de $ f(t) = t^{3} $. A transformada de $ t^{n} $ é:
Neste caso, $ n = 3 $, então:
Passo 5
Agora, substituímos $ F(s) $ na fórmula da transformada de Laplace da função deslocada:
Resposta
Então, a transformada de Laplace de $ (t-3)^{3} \mathcal{U}(t-3) $ é: