Problema 13. Dados conjuntos
e
, defina a diferença simétrica de
e
, denotada
, por
Dados conjuntos
,
e
, prove que
.
Passo 1
O enunciado define a diferença simétrica de dois conjuntos
e
por
e pede para mostrar que essa operação é associativa, isto é, que
Vamos usar prova por elemento genérico: mostrar as duas inclusões de cada lado.
Passo 2
Provar
.
Seja . Então, pela definição de diferença simétrica,
Seja
E também
Agora separamos dois casos:
Caso 1:
e
.
Há dois subcasos:
Há dois subcasos:
-
Se
e , então além de concluímos que . Logo -
Se
e , então como segue . Logo
Caso 2:
e
.
O fato de significa que ou
ou
. Em cada situação:
O fato de
-
Se
e , então implica , daí -
Se
e , então implica , daí
Em todos os subcasos concluímos
. Logo
Passo 3
Para a inclusão inversa
basta repetir o mesmo raciocínio trocando
e
, já que a definição de
é simétrica. Assim obtemos a inclusão oposta.
Passo 4
Pelas duas inclusões mostradas, concluímos