Problema 13. Dados conjuntos
e
, defina a diferença simétrica de
e
, denotada
, por
Dados conjuntos
,
e
, prove que
.
Passo 1
O enunciado define a diferença simétrica de dois conjuntos
e
por
e pede para mostrar que
O conteúdo é teoria de conjuntos, em particular uniões, interseções e diferença de conjuntos, e vamos usar o método de prova por dupla inclusão: mostrar que cada lado está contido no outro.
Passo 2
Prova de
. Seja
. Então ou
-
, isto é, e , ou -
, isto é, e .
Em ambos os casos temos
. Além disso, como não é possível ter simultaneamente
e
, concluímos
. Logo
Isso prova
.
Passo 3
Prova de
. Seja
. Então
O primeiro diz que
ou
. O segundo diz que não vale ao mesmo tempo
e
. Portanto ou
-
e , ou -
e .
No primeiro caso
, e no segundo
. Em ambos,
. Assim
.
Resposta
Portanto, por dupla inclusão,