Problema 13. Dados conjuntos X e Y, defina a diferença simétrica de X e Y, denotada X \Delta Y, por
X \Delta Y=(X \backslash Y) \cup(Y \backslash X)
Dados conjuntos X, Y e Z, prove que
X \triangle Y=(X \cup Y) \backslash(X \cap Y).

Passo 1

O enunciado define a diferença simétrica de dois conjuntos X e Y por
X \Delta Y = (X \setminus Y)\;\cup\;(Y \setminus X),
e pede para mostrar que
X \Delta Y = (X \cup Y)\;\setminus\;(X \cap Y).
O conteúdo é teoria de conjuntos, em particular uniões, interseções e diferença de conjuntos, e vamos usar o método de prova por dupla inclusão: mostrar que cada lado está contido no outro.

Passo 2

Prova de X \Delta Y \subseteq (X \cup Y)\setminus(X \cap Y). Seja z\in X \Delta Y. Então ou
  1. z\in X\setminus Y, isto é, z\in X e z\notin Y, ou
  2. z\in Y\setminus X, isto é, z\in Y e z\notin X.
Em ambos os casos temos z\in X\cup Y. Além disso, como não é possível ter simultaneamente z\in X e z\in Y, concluímos z\notin X\cap Y. Logo
z\in (X \cup Y)\setminus(X \cap Y).
Isso prova X \Delta Y \subseteq (X \cup Y)\setminus(X \cap Y).

Passo 3

Prova de (X \cup Y)\setminus(X \cap Y)\subseteq X \Delta Y. Seja z\in (X \cup Y)\setminus(X \cap Y). Então
z\in X\cup Y \quad\text{e}\quad z\notin X\cap Y.
O primeiro diz que z\in X ou z\in Y. O segundo diz que não vale ao mesmo tempo z\in X e z\in Y. Portanto ou
  • z\in X e z\notin Y, ou
  • z\notin X e z\in Y.
No primeiro caso z\in X\setminus Y, e no segundo z\in Y\setminus X. Em ambos, z\in (X\setminus Y)\cup(Y\setminus X)=X\Delta Y. Assim (X \cup Y)\setminus(X \cap Y)\subseteq X \Delta Y.

Resposta

Portanto, por dupla inclusão,
X \Delta Y = (X \cup Y)\setminus(X \cap Y).

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