Problema 13. Dados conjuntos X e Y, defina a diferença simétrica de X e Y, denotada X \Delta Y, por
X \Delta Y=(X \backslash Y) \cup(Y \backslash X)
Dados conjuntos X, Y e Z, prove que
(X \triangle Y) \triangle Z=X \triangle(Y \triangle Z).

Passo 1

O enunciado define a diferença simétrica de dois conjuntos A e B por
A\Delta B = (A\setminus B)\;\cup\;(B\setminus A)
e pede para mostrar que essa operação é associativa, isto é, que
(X\Delta Y)\Delta Z \;=\; X\Delta (Y\Delta Z).
Vamos usar prova por elemento genérico: mostrar as duas inclusões de cada lado.

Passo 2

Provar \,(X\Delta Y)\Delta Z \subseteq X\Delta (Y\Delta Z).
Seja x\in (X\Delta Y)\Delta Z. Então, pela definição de diferença simétrica,
x\in (X\Delta Y)\Delta Z \;\iff\; \bigl[x\in X\Delta Y\;\land\;x\notin Z\bigr] \;\lor\; \bigl[x\notin X\Delta Y\;\land\;x\in Z\bigr].
E também
x\in X\Delta Y \;\iff\; \bigl[x\in X\;\land\;x\notin Y\bigr] \;\lor\; \bigl[x\notin X\;\land\;x\in Y\bigr].
Agora separamos dois casos:
Caso 1: x\in X\Delta Y e x\notin Z.
Há dois subcasos:
  1. Se x\in X e x\notin Y, então além de x\notin Z concluímos que x\notin Y\Delta Z. Logo
    x\in X \quad\text{e}\quad x\notin Y\Delta Z \;\implies\; x\in X\Delta(Y\Delta Z).
  2. Se x\notin X e x\in Y, então como x\notin Z segue x\in Y\Delta Z. Logo
    x\notin X \quad\text{e}\quad x\in Y\Delta Z \;\implies\; x\in X\Delta(Y\Delta Z).
Caso 2: x\notin X\Delta Y e x\in Z.
O fato de x\notin X\Delta Y significa que ou x\in X\cap Y ou x\notin X\cup Y. Em cada situação:
  1. Se x\in X e x\in Y, então x\in Z implica x\notin Y\Delta Z, daí
    x\in X \quad\text{e}\quad x\notin Y\Delta Z \;\implies\; x\in X\Delta(Y\Delta Z).
  2. Se x\notin X e x\notin Y, então x\in Z implica x\in Y\Delta Z, daí
    x\notin X \quad\text{e}\quad x\in Y\Delta Z \;\implies\; x\in X\Delta(Y\Delta Z).
Em todos os subcasos concluímos x\in X\Delta(Y\Delta Z). Logo
(X\Delta Y)\Delta Z \;\subseteq\; X\Delta(Y\Delta Z).

Passo 3

Para a inclusão inversa
X\Delta(Y\Delta Z)\;\subseteq\;(X\Delta Y)\Delta Z
basta repetir o mesmo raciocínio trocando Y e Z, já que a definição de \Delta é simétrica. Assim obtemos a inclusão oposta.

Passo 4

Pelas duas inclusões mostradas, concluímos
(X\Delta Y)\Delta Z \;=\; X\Delta(Y\Delta Z).

Resposta

(X\Delta Y)\Delta Z = X\Delta(Y\Delta Z).

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