Problema 13: Seja
uma função de classe
. Então vale
em que
. Aplique esse resultado e calcule:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace de $ t e^{2 t} $. Para isso, vamos usar uma propriedade da transformada de Laplace que envolve funções da classe $ C^{n} $, onde $ n $ é um número inteiro positivo. Precisaremos conhecer a fórmula que relaciona a transformada de $ t^{n} f(t) $ com as derivadas de $ F(s) $, onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(t) $.
Passo 2
Primeiro, identificamos que $ n = 1 $ e $ f(t) = e^{2t} $. De acordo com a propriedade dada:
onde $ F(s) = \mathcal{L}{ f(t) } $. Isso significa que precisamos encontrar a transformada de Laplace de $ f(t) = e^{2t} $ e, em seguida, calcular a primeira derivada de $ F(s) $ em relação a $ s $.
Passo 3
Calculamos $ F(s) = \mathcal{L}{ e^{2t} } $. Sabemos que a transformada de Laplace de $ e^{a t} $ é dada por:
desde que $ Re(s) > Re(a) $. No nosso caso, $ a = 2 $, então:
Passo 4
Agora, aplicamos a propriedade para $ n = 1 $:
Isso simplifica para:
Passo 5
Calculamos a derivada de $ \frac{1}{s - 2} $ em relação a $ s $:
Passo 6
Substituímos a derivada de volta na expressão:
Resposta
A transformada de Laplace de $ t e^{2t} $ é: