Problema 13: Seja f uma função de classe C^n, n=1,2,3, cdots. Então vale
Lt^n f(t)=(-1)^n d^nd s^n F(s),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado e calcule:
Lt e^2 t.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace de $ t e^{2 t} $. Para isso, vamos usar uma propriedade da transformada de Laplace que envolve funções da classe $ C^{n} $, onde $ n $ é um número inteiro positivo. Precisaremos conhecer a fórmula que relaciona a transformada de $ t^{n} f(t) $ com as derivadas de $ F(s) $, onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(t) $.

Passo 2

Primeiro, identificamos que $ n = 1 $ e $ f(t) = e^{2t} $. De acordo com a propriedade dada:
n = 1
onde $ F(s) = \mathcal{L}{ f(t) } $. Isso significa que precisamos encontrar a transformada de Laplace de $ f(t) = e^{2t} $ e, em seguida, calcular a primeira derivada de $ F(s) $ em relação a $ s $.

Passo 3

Calculamos $ F(s) = \mathcal{L}{ e^{2t} } $. Sabemos que a transformada de Laplace de $ e^{a t} $ é dada por:
F(s) = L e^2t
desde que $ Re(s) > Re(a) $. No nosso caso, $ a = 2 $, então:
e^a t

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade para $ n = 1 $:
n = 1
Isso simplifica para:
L t e^2t = (-1)^1 dd s ( 1s - 2 )

Passo 5

Calculamos a derivada de $ \frac{1}{s - 2} $ em relação a $ s $:
1s - 2

Passo 6

Substituímos a derivada de volta na expressão:
L t e^2t = - ( - 1(s - 2)^2 ) = 1(s - 2)^2

Resposta

A transformada de Laplace de $ t e^{2t} $ é:
t e^2t

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