Problema 13: Seja
uma função de classe
. Então vale
em que
. Aplique esse resultado e calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para calcular a Transformada de Laplace de $ t e^{3t} $. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma técnica muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que relaciona a Transformada de Laplace de $ t^n f(t) $ com a derivada da Transformada de Laplace de $ f(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é $ f(t) $ e qual é o valor de $ n $ no nosso caso. Olhando para $ t e^{3t} $, conseguimos ver que:
- $ f(t) = e^{3t} $
- $ n = 1 $ (porque temos $ t^1 $)
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de $ f(t) = e^{3t} $, que vamos chamar de $ F(s) $. A Transformada de Laplace de $ e^{at} $ é uma fórmula padrão e é dada por:
Então, substituindo $ a = 3 $:
Passo 4
Agora vamos aplicar a fórmula que relaciona $ \mathcal{L}{ t^n f(t) } $ com a derivada de $ F(s) $. A fórmula é:
Como $ n = 1 $, temos:
Passo 5
Vamos calcular a derivada de $ F(s) = \frac{1}{s - 3} $ em relação a $ s $:
Passo 6
Agora, aplicamos o fator $ (-1)^1 = -1 $:
Resposta
Então, a Transformada de Laplace de $ t e^{3t} $ é: