Problema 13: Seja f uma função de classe C^n, n=1,2,3, cdots. Então vale
Lt^n f(t)=(-1)^n d^nd s^n F(s),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado e calcule:
Lt e^3 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para calcular a Transformada de Laplace de $ t e^{3t} $. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma técnica muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que relaciona a Transformada de Laplace de $ t^n f(t) $ com a derivada da Transformada de Laplace de $ f(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é $ f(t) $ e qual é o valor de $ n $ no nosso caso. Olhando para $ t e^{3t} $, conseguimos ver que:
  • $ f(t) = e^{3t} $
  • $ n = 1 $ (porque temos $ t^1 $)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de $ f(t) = e^{3t} $, que vamos chamar de $ F(s) $. A Transformada de Laplace de $ e^{at} $ é uma fórmula padrão e é dada por:
f(t) = e^3t
Então, substituindo $ a = 3 $:
F(s)

Passo 4

Agora vamos aplicar a fórmula que relaciona $ \mathcal{L}{ t^n f(t) } $ com a derivada de $ F(s) $. A fórmula é:
L t^n f(t)
Como $ n = 1 $, temos:
F(s)

Passo 5

Vamos calcular a derivada de $ F(s) = \frac{1}{s - 3} $ em relação a $ s $:
F(s) = 1s - 3

Passo 6

Agora, aplicamos o fator $ (-1)^1 = -1 $:
(-1)^1 = -1

Resposta

Então, a Transformada de Laplace de $ t e^{3t} $ é:
t e^3t

Exercícios relacionados