Problema 13: Seja
uma função de classe
. Então vale
em que
. Aplique esse resultado e calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace de $ t \cdot \sin(2t) $. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, especialmente a propriedade que relaciona a transformada de $ t^n f(t) $ com as derivadas da transformada de $ f(t) $. Então, vamos precisar dessa propriedade e saber como aplicar derivadas na transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é $ f(t) $ nesse caso. Comparando $ t \cdot \sin(2t) $ com $ t^n f(t) $, vemos que $ n = 1 $ e $ f(t) = \sin(2t) $.
Passo 3
A propriedade que vamos usar é:
onde $ F(s) = \mathcal{L}{ f(t) } $. Como $ n = 1 $, a expressão fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar $ F(s) = \mathcal{L}{ \sin(2t) } $. Sabemos que a transformada de Laplace de $ \sin(at) $ é:
Aqui, $ a = 2 $, então:
Passo 5
Com $ F(s) $ em mãos, vamos derivar $ F(s) $ em relação a $ s $:
Usando a regra da derivada para uma função do tipo $ \frac{k}{g(s)} $, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos a propriedade que tínhamos: