Problema 13: Seja f uma função de classe C^n, n=1,2,3, cdots. Então vale
Lt^n f(t)=(-1)^n d^nd s^n F(s),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado e calcule:
Lt sen(2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace de $ t \cdot \sin(2t) $. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, especialmente a propriedade que relaciona a transformada de $ t^n f(t) $ com as derivadas da transformada de $ f(t) $. Então, vamos precisar dessa propriedade e saber como aplicar derivadas na transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é $ f(t) $ nesse caso. Comparando $ t \cdot \sin(2t) $ com $ t^n f(t) $, vemos que $ n = 1 $ e $ f(t) = \sin(2t) $.

Passo 3

A propriedade que vamos usar é:
L t^n f(t) = (-1)^n d^nd s^n F(s),
onde $ F(s) = \mathcal{L}{ f(t) } $. Como $ n = 1 $, a expressão fica:
F(s) = L f(t)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar $ F(s) = \mathcal{L}{ \sin(2t) } $. Sabemos que a transformada de Laplace de $ \sin(at) $ é:
F(s) = L sin(2t)
Aqui, $ a = 2 $, então:
sin(at)

Passo 5

Com $ F(s) $ em mãos, vamos derivar $ F(s) $ em relação a $ s $:
F(s)
Usando a regra da derivada para uma função do tipo $ \frac{k}{g(s)} $, temos:
F(s)

Passo 6

Agora, aplicamos a propriedade que tínhamos:
L t cdot sin(2t) = - ( -4s(s^2 + 4)^2 ) = 4s(s^2 + 4)^2

Resposta

L t cdot sin(2t) = 4s(s^2 + 4)^2

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