Problema 13: Seja f uma função de classe C^n, n=1,2,3, cdots. Então vale
Lt^n f(t)=(-1)^n d^nd s^n F(s),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado e calcule:
Lt sen(4 t).

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: queremos calcular a transformada de Laplace da função $ t \cdot \sin(4t) $. Isso faz parte do estudo de transformadas de Laplace, uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que conecta a transformada de Laplace de $ t^n \cdot f(t) $ com as derivadas da transformada de $ f(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que vamos utilizar. Se $ f(t) $ é uma função suficientemente suave, a transformada de Laplace de $ t^n \cdot f(t) $ é dada por:
f(t)
onde $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $.

Passo 3

No nosso caso, $ f(t) = \sin(4t) $ e $ n = 1 $. Vamos começar encontrando a transformada de Laplace de $ \sin(4t) $, ou seja, $ F(s) $.
Sabemos que:
f(t) = sin(4t)
Aqui, $ a = 4 $, então:
n = 1

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula que relaciona $ \mathcal{L}{t f(t)} $ com a derivada de $ F(s) $. Como $ n = 1 $, temos:
Lt f(t)
Simplificando o sinal:
F(s)

Passo 5

Vamos calcular a derivada de $ \frac{4}{s^{2} + 16} $ em relação a $ s $. Usando a regra do quociente:
4s^2 + 16
A derivada de $ \frac{1}{s^{2} + 16} $ é:
s
Portanto:
dd s ( 4s^2 + 16 ) = 4 cdot dd s ( 1s^2 + 16 )

Passo 6

Lembrando do sinal que tínhamos antes, multiplicamos a derivada por -1:
L t cdot sin(4t) = - ( - 8s(s^2 + 16)^2 ) = 8s(s^2 + 16)^2

Resposta

A transformada de Laplace de $ t \cdot \sin(4t) $ é:
t cdot sin(4t)

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