Problema 13: Seja
uma função de classe
. Então vale
em que
. Aplique esse resultado e calcule:
.
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: queremos calcular a transformada de Laplace da função $ t \cdot \sin(4t) $. Isso faz parte do estudo de transformadas de Laplace, uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que conecta a transformada de Laplace de $ t^n \cdot f(t) $ com as derivadas da transformada de $ f(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula que vamos utilizar. Se $ f(t) $ é uma função suficientemente suave, a transformada de Laplace de $ t^n \cdot f(t) $ é dada por:
onde $ F(s) = \mathcal{L}{f(t)} $.
Passo 3
No nosso caso, $ f(t) = \sin(4t) $ e $ n = 1 $. Vamos começar encontrando a transformada de Laplace de $ \sin(4t) $, ou seja, $ F(s) $.
Sabemos que:
Aqui, $ a = 4 $, então:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula que relaciona $ \mathcal{L}{t f(t)} $ com a derivada de $ F(s) $. Como $ n = 1 $, temos:
Simplificando o sinal:
Passo 5
Vamos calcular a derivada de $ \frac{4}{s^{2} + 16} $ em relação a $ s $. Usando a regra do quociente:
A derivada de $ \frac{1}{s^{2} + 16} $ é:
Portanto:
Passo 6
Lembrando do sinal que tínhamos antes, multiplicamos a derivada por -1:
Resposta
A transformada de Laplace de $ t \cdot \sin(4t) $ é: