Problema 13 Utilize o algoritmo de inversão para obter a inversa de cada matriz abaixo
E=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 3 \\\\ 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 \\[4pt] 2 & 3 & 4 \\[4pt] 1 & 0 & 2\end{pmatrix}
e pede para obter a inversa dessa matriz. Ou seja, precisamos encontrar a matriz \,E^{-1}\, tal que
E\,E^{-1}=I,
onde I é a matriz identidade 3\times3. As informações relevantes são as entradas de E mostradas acima. A tarefa é calcular explicitamente E^{-1}.]

Passo 2

Vou usar o algoritmo de inversão que funciona assim (explicação didática, passo a passo): escrevemos a matriz E “aumentada” com a identidade I, formando [E\mid I]. Em seguida aplicamos operações elementares de linhas para transformar a parte esquerda da matriz aumentada em I. As operações elementares possíveis são:
\text{(i) trocar duas linhas},\qquad \text{(ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo},\qquad \text{(iii) somar a um múltiplo de uma linha outra linha.}ãú
Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares à esquerda e preservam a igualdade; quando a parte esquerda vira I, a parte direita será exatamente E^{-1}. Vou fazer cada operação explicando por que e mostrando os cálculos para você poder reproduzir na prova sem calculadora.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada inicial [E\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
O objetivo é transformar a parte esquerda 3\times3 em I_3.]

Passo 4

Começo eliminando os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (posição (1,1)). O pivô já é 1, ótimo. Faço:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos linha a linha:
Para R_2-2R_1:
\begin{array}{rcl} \text{parte esquerda: } & (2,\,3,\,4) - 2(1,\,0,\,3) &= (2-2,\;3-0,\;4-6)=(0,\,3,\,-2),\\[4pt] \text{parte direita: } & (0,\,1,\,0) - 2(1,\,0,\,0) &= (0-2,\;1-0,\;0-0)=(-2,\,1,\,0). \end{array}
Para R_3-R_1:
\begin{array}{rcl} \text{parte esquerda: } & (1,\,0,\,2) - (1,\,0,\,3) &= (0,\,0,\,-1),\\[4pt] \text{parte direita: } & (0,\,0,\,1) - (1,\,0,\,0) &= (-1,\,0,\,1). \end{array}
A matriz aumentada fica então
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -2 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora trato o pivô da segunda linha, posição (2,2), que vale 3. Vou transformá-lo em 1 dividindo a segunda linha por 3:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2.
Calculando:
R_2 = \left(0,\;1,\;-\tfrac{2}{3}\;\Big|\; -\tfrac{2}{3},\;\tfrac{1}{3},\;0\right).
Aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

A terceira linha tem pivô -1 na posição (3,3). Faço R_3\leftarrow -1\cdot R_3 para tornar esse pivô igual a 1:
R_3 = \left(0,\;0,\;1\;\Big|\;1,\;0,\;-1\right).
Aumentada agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 7

Com os pivôs todos iguais a 1, eliminamos os elementos acima do pivô da terceira coluna para transformar a parte esquerda em I.
Precisamos zerar a entrada 3 em R_1 (coluna 3) e a entrada -\tfrac{2}{3} em R_2. Faço:
R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{2}{3}R_3.
Calculemos R_1 - 3R_3:
\begin{array}{rcl} \text{parte esquerda: } & (1,\,0,\,3) - 3(0,\,0,\,1) &= (1,\,0,\,0),\\[4pt] \text{parte direita: } & (1,\,0,\,0) - 3(1,\,0,\,-1) &= (1-3,\;0-0,\;0-(-3))=(-2,\,0,\,3). \end{array}
Calculemos R_2 + \tfrac{2}{3}R_3:
\begin{array}{rcl} \text{parte esquerda: } & (0,\,1,\,-\tfrac{2}{3}) + \tfrac{2}{3}(0,\,0,\,1) &= (0,\,1,\,0),\\[4pt] \text{parte direita: } & \big(-\tfrac{2}{3},\;\tfrac{1}{3},\;0\big) + \tfrac{2}{3}(1,\,0,\,-1) &= \big(-\tfrac{2}{3}+\tfrac{2}{3},\;\tfrac{1}{3}+0,\;0-\tfrac{2}{3}\big)=(0,\;\tfrac{1}{3},\;-\tfrac{2}{3}). \end{array}
Após essas operações a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 8

A parte esquerda da matriz aumentada é agora a identidade I_3, portanto a parte direita é a inversa procurada. Assim encontramos
E^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 3\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Se quiser, você pode conferir multiplicando E por E^{-1} e verificando que o produto dá I_3. Mandou bem por ter pedido a resolução passo a passo — essa é a forma que cai na prova e dá segurança!]

Resposta

E^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 3\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}]

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