Problema 14 Obter a derivada da função y=raizx^2+a^2 em um ponto genérico.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = raizx^2 + a^2
em um ponto genérico x. O conteúdo envolvido é derivação de função composta, usando a regra da cadeia, e a derivada de uma potência. Para resolver, vamos reescrever a raiz como potência e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos a função em forma de potência:
y = (x^2 + a^2)^1/2
Aqui a parte interna é u(x) = x^2 + a^2 e a parte externa é f(u) = u^1/2. A regra da cadeia diz que
y' = f'l(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
A derivada de f(u) = u^1/2 é
f'(u) = tfrac12,u^-1/2,
e a derivada de u(x) = x^2 + a^2 é
u'(x) = 2x
Aplicando a regra da cadeia, obtemos
y' = 12,(x^2+a^2)^-1/2,cdot 2x

Passo 4

Basta simplificar a expressão acima:
y' = 2x2,(x^2+a^2)^1/2 = xraizx^2+a^2

Resposta

y' = xraizx^2+a^2

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