(1pt) Prove que a função f(x)=-5 e^(-x^2)-2 x+4 tem raiz no intervalo aberto (0,3). (dica: e>2,7 )
Solução. Use o Teorema do Valor Intermadiário e o fato que f(0)=-1<0 e f(1)=2-5 / e> 0 . Logo, existe uma raiz no intervalo (0,1) subset(0,3).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x) = -5,e^-x^2 ;-; 2,x ;+;4
possui ao menos uma raiz em (0,3). Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe xiin(a,b) com f(xi)=0.

Passo 2

Verificamos que f é soma e composição de funções contínuas (exponencial e polinômio), logo f é contínua em [0,3].

Passo 3

Calculamos
f(0) = -5,e^-(0)^2 - 2cdot0 + 4 = -5 + 4 = -1 < 0

Passo 4

Agora avaliamos f(1). Temos
f(1) = -5,e^-1 - 2cdot1 + 4 = -5e + 2
Como e > 2,7, segue
-5e + 2 ;>; 2 - 52,7 = 2 - 1,851ldots = 0,148ldots > 0
Logo f(1)>0.

Passo 5

Em [0,1]subset[0,3], temos f(0)<0 e f(1)>0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe xiin(0,1) tal que f(xi)=0. Como (0,1)subset(0,3), concluímos que há raiz em (0,3).

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe xiin(0,3) com f(xi)=0.

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