Questão 3 (1,5 pontos)
Mostre que
dd x[x^-5 J5(x)]=-x^-5 J6(x)
onde Jm(x)=sumn=0^infty (-1)^nn!(m+n)!(x2)^2 n+m

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
dd xl[x^-5J5(x)r] = -,x^-5J6(x),
onde
Jm(x)=sumn=0^infty(-1)^nn!,(m+n)!l(x2r)^2n+m
Vamos usar a definição em série de Jm(x) e diferenciar termo a termo.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a série para J5(x) e multiplicando por x^-5, obtemos
J5(x) = sumn=0^infty(-1)^nn!,(n+5)!l(x2r)^2n+5 Longrightarrow x^-5J5(x) = sumn=0^infty(-1)^nn!,(n+5)!,x^2n2^2n+5

Passo 3

Diferenciando termo a termo (observe que o termo n=0 some, pois vem um fator 2n), temos
ddxl[x^-5J5(x)r] = sumn=0^infty(-1)^nn!,(n+5)!,2n,x^2n-12^2n+5 = sumn=1^infty(-1)^n,2nn!,(n+5)!,x^2n-12^2n+5

Passo 4

Fazendo a mudança de índice k=n-1 na soma que vai de n=1 a infty, fica
ddxl[x^-5J5(x)r] = sumk=0^infty(-1)^k+1,2(k+1)(k+1)!,(k+6)!, x^2k+12^2(k+1)+5
Escrevendo (-1)^k+1=-(-1)^k e
2(k+1)2^2k+7 =k+12^2k+6 =1k!,2^2k+6,
temos
ddxl[x^-5J5(x)r] = -sumk=0^infty(-1)^kk!,(k+6)!,x^2k+12^2k+6 = -,x^-5J6(x),
pois a definição de J6(x) é exatamente
J6(x) = sumk=0^infty(-1)^kk!,(k+6)!l(x2r)^2k+6 = x^5sumk=0^infty(-1)^kk!,(k+6)!,x^2k+12^2k+6

Resposta

dd xl[x^-5J5(x)r] = -,x^-5J6(x)

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