Problema 15. Sejam
\vec{u}=(2,-1,2) \quad \text { e } \quad \vec{v}=(1,3,-2) .
Calcule:
(a) \vec{u} \cdot \vec{v};
(b) o ângulo entre \vec{u} e \vec{v};
(c) classifique o ângulo obtido como agudo, reto ou obtuso.

Passo 1

O enunciado dá as duas seguintes informações (vetores fornecidos) e pede três coisas:
  • Vetores dados:
\vec{u}=(2,-1,2),\qquad \vec{v}=(1,3,-2).
  • Perguntas:
    (a) Calcular \vec{u}\cdot\vec{v}.
    (b) Determinar o ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v}.
    (c) Classificar o ângulo obtido como agudo, reto ou obtuso.

Passo 2

Definição e fórmula do produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^3. Se
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
então o produto escalar é dado por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Explicando: cada coordenada de \vec{u} é multiplicada pela correspondente de \vec{v} e soma-se tudo. Esse número é importante porque relaciona os vetores com o cosseno do ângulo entre eles (veremos isso adiante).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado:
\vec{u}\cdot\vec{v}= (2)\cdot(1) + (-1)\cdot(3) + (2)\cdot(-2).
Calculemos termo a termo:
(2)\cdot(1)=2,\quad (-1)\cdot(3)=-3,\quad (2)\cdot(-2)=-4.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2-3-4=-5.

Passo 4

Agora precisamos dos módulos (normas) dos vetores. Fórmula do módulo em \mathbb{R}^3: se \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) então
\lVert \vec{w}\rVert = \sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Isso vem da extensão do teorema de Pitágoras para três coordenadas.

Passo 5

Calcule \lVert \vec{u}\rVert:
\lVert \vec{u}\rVert = \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 6

Calcule \lVert \vec{v}\rVert:
\lVert \vec{v}\rVert = \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}.

Passo 7

Relação entre produto escalar e ângulo. Para dois vetores \vec{u} e \vec{v} existe a identidade
\vec{u}\cdot\vec{v}=\lVert \vec{u}\rVert\lVert \vec{v}\rVert\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles, com 0\le \theta\le \pi. Isolando \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert \vec{u}\rVert\lVert \vec{v}\rVert}.

Passo 8

Substituindo os valores que já temos:
\cos\theta=\frac{-5}{3\sqrt{14}}.
Para ter uma ideia numérica: \sqrt{14}\approx 3{,}741657, então
3\sqrt{14}\approx 11{,}224972,
e
\cos\theta\approx \frac{-5}{11{,}224972}\approx -0{,}445435.

Passo 9

Cálculo do ângulo. Para obter \theta usamos a função arco cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-5}{3\sqrt{14}}\right).
Numericamente (usando calculadora para a função \operatorname{arccos}):
\theta\approx 116{,}6^\circ\quad\text{(graus)},
ou em radianos
\theta\approx 2{,}034\\ \text{rad}.
Observação útil para a prova: não é necessário calcular \theta com alta precisão para responder (c); basta saber o sinal de \cos\theta. Aqui \cos\theta<0, logo \theta>90^\circ.

Passo 10

Classificação do ângulo. Como \theta\approx116{,}6^\circ, que é maior que 90^\circ e menor que 180^\circ, o ângulo é obtuso.

Resposta

(a) -5
(b) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-5}{3\sqrt{14}}\right)\approx116{,}6^\circ
(c) obtuso

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