Problema 15. Sejam
Calcule:
(a)
;
(b) o ângulo entre
e
;
(c) classifique o ângulo obtido como agudo, reto ou obtuso.
(a)
(b) o ângulo entre
(c) classifique o ângulo obtido como agudo, reto ou obtuso.
Passo 1
O enunciado dá as duas seguintes informações (vetores fornecidos) e pede três coisas:
- Vetores dados:
- Perguntas:
(a) Calcular.
(b) Determinar o ânguloentre e .
(c) Classificar o ângulo obtido como agudo, reto ou obtuso.
Passo 2
Definição e fórmula do produto escalar (dot product) em
. Se
então o produto escalar é dado por
Explicando: cada coordenada de
é multiplicada pela correspondente de
e soma-se tudo. Esse número é importante porque relaciona os vetores com o cosseno do ângulo entre eles (veremos isso adiante).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Passo 4
Agora precisamos dos módulos (normas) dos vetores. Fórmula do módulo em
: se
então
Isso vem da extensão do teorema de Pitágoras para três coordenadas.
Passo 5
Calcule
:
Passo 6
Calcule
:
Passo 7
Relação entre produto escalar e ângulo. Para dois vetores
e
existe a identidade
onde
é o ângulo entre eles, com
. Isolando
:
Passo 8
Substituindo os valores que já temos:
Para ter uma ideia numérica:
, então
e
Passo 9
Cálculo do ângulo. Para obter
usamos a função arco cosseno:
Numericamente (usando calculadora para a função
):
ou em radianos
Observação útil para a prova: não é necessário calcular
com alta precisão para responder (c); basta saber o sinal de
. Aqui
, logo
.
Passo 10
Classificação do ângulo. Como
, que é maior que
e menor que
, o ângulo é obtuso.
Resposta
(a)
(b)
(c) obtuso
(b)
(c) obtuso