Problema 17. Em um deslocamento retilíneo, uma força constante é dada por
e o deslocamento por
(a) calcule o trabalho realizado pela força;
(b) determine a componente da força na direção do movimento;
(c) explique por que a componente perpendicular não contribui para o trabalho.
(b) determine a componente da força na direção do movimento;
(c) explique por que a componente perpendicular não contribui para o trabalho.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
-
Dados fornecidos:
-
. -
.
-
-
Perguntas:
(a) Calcular o trabalho realizado pela força durante esse deslocamento.
(b) Determinar a componente da força na direção do movimento.
(c) Explicar por que a componente perpendicular não contribui para o trabalho.
Passo 2
Entender o conceito e a fórmula que vamos usar para o trabalho.
- Definição prática que usamos aqui: o trabalho realizado por uma força constante
ao deslocar um corpo por um vetor é o produto escalar (dot product) entre e . - Fórmula:
- O produto escalar entre dois vetores em coordenadas cartesianas
e é
Explicando em palavras: o produto escalar combina as componentes correspondentes e soma; ele mede “quanto” de um vetor aponta na direção do outro.
Passo 3
Aplicar a fórmula do produto escalar para calcular o trabalho (parte (a)).
- Escrevendo os vetores dados:
- Calculando o produto escalar:
- Fazendo as contas passo a passo:
portanto
- Unidade: produto de newtons por metros dá joules, portanto
Passo 4
Determinar a componente da força na direção do movimento (parte (b)). Vou mostrar duas formas equivalentes e intuitivas: (i) como componente escalar (módulo da projeção), (ii) como componente vetorial.
-
Forma 1 — componente escalar (projeção sobre a direção do deslocamento):
- A componente escalar de
na direção de é dada por
- Aqui
é o comprimento do deslocamento. Calculando :
- Usando o trabalho já calculado (
):
- Interpretação: isso significa que, ao longo da direção do movimento, a força efetivamente “empurra” com
.
- A componente escalar de
-
Forma 2 — componente vetorial (projeção vetorial de
sobre ): - A projeção vetorial é
- Como
e :
então- Isso confirma a componente escalar
e dá também a direção (eixo ).
Passo 5
Calcular a componente perpendicular e mostrar por que ela não contribui para o trabalho (parte (c)).
-
Primeiro, a decomposição vetorial:Já temos
, então A magnitude dessa componente perpendicular é. -
Agora mostrar matematicamente que
não faz trabalho: - O trabalho devido à componente perpendicular seria
. - Calculando:
- Logo, a componente perpendicular contribui zero para o trabalho total.
- O trabalho devido à componente perpendicular seria
-
Explicação física e geométrica (intuitiva):
- Trabalho mede a força multiplicada pelo deslocamento na direção da força (projeção). Se a força é perpendicular ao deslocamento, ela não “empurra” na direção em que o corpo se move — ela só tende a desviar ou sustentar sem deslocar naquela direção. Assim, não realiza trabalho sobre o deslocamento considerado.
- Em termos de produto escalar, vetores perpendiculares têm produto escalar zero; por isso o trabalho é zero.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (resumindo a técnica que deve usar):
- Para trabalho com forças constantes em linhas retas, aplique sempre
. - Se pedirem componentes paralela/perpendicular, use projeção vetorial ou calcule
. - Conferência rápida: somar os trabalhos das componentes dá o trabalho total porque o produto escalar é linear.
Resposta
(a)
(b) componente na direção do movimento: escalar ; vetorial
(c) A componente perpendicular não contribui porque : forças perpendiculares ao deslocamento têm produto escalar zero e, portanto, não realizam trabalho.
(b) componente na direção do movimento: escalar
(c) A componente perpendicular não contribui porque