Problema 17. Em um deslocamento retilíneo, uma força constante é dada por
\vec{F}=(120,50) \mathrm{N}
e o deslocamento por
\vec{s}=(30,0) \mathrm{m} .
(a) calcule o trabalho realizado pela força;
(b) determine a componente da força na direção do movimento;
(c) explique por que a componente perpendicular não contribui para o trabalho.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dados fornecidos:
    • \vec{F}=(120,50)\\ \mathrm{N}.
    • \vec{s}=(30,0)\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular o trabalho realizado pela força durante esse deslocamento.
    (b) Determinar a componente da força na direção do movimento.
    (c) Explicar por que a componente perpendicular não contribui para o trabalho.

Passo 2

Entender o conceito e a fórmula que vamos usar para o trabalho.
  • Definição prática que usamos aqui: o trabalho realizado por uma força constante \vec{F} ao deslocar um corpo por um vetor \vec{s} é o produto escalar (dot product) entre \vec{F} e \vec{s}.
  • Fórmula:
W=\vec{F}\cdot\vec{s}.
  • O produto escalar entre dois vetores em coordenadas cartesianas \vec{a}=(a_x,a_y) e \vec{b}=(b_x,b_y) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y.
Explicando em palavras: o produto escalar combina as componentes correspondentes e soma; ele mede “quanto” de um vetor aponta na direção do outro.

Passo 3

Aplicar a fórmula do produto escalar para calcular o trabalho (parte (a)).
  • Escrevendo os vetores dados:
\vec{F}=(120,50)\\ \mathrm{N},\qquad \vec{s}=(30,0)\\ \mathrm{m}.
  • Calculando o produto escalar:
W=\vec{F}\cdot\vec{s}=120\cdot30 + 50\cdot0.
  • Fazendo as contas passo a passo:
120\cdot30 = 3600,\qquad 50\cdot0=0,
portanto
W=3600+0=3600.
  • Unidade: produto de newtons por metros dá joules, portanto
W=3600\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Determinar a componente da força na direção do movimento (parte (b)). Vou mostrar duas formas equivalentes e intuitivas: (i) como componente escalar (módulo da projeção), (ii) como componente vetorial.
  • Forma 1 — componente escalar (projeção sobre a direção do deslocamento):
    • A componente escalar de \vec{F} na direção de \vec{s} é dada por
    F_{\parallel}=\frac{\vec{F}\cdot\vec{s}}{|\vec{s}|}.
    • Aqui |\vec{s}| é o comprimento do deslocamento. Calculando |\vec{s}|:
    |\vec{s}|=\sqrt{30^2+0^2}=\sqrt{900}=30\\ \mathrm{m}.
    • Usando o trabalho já calculado ( \vec{F}\cdot\vec{s}=3600\\ \mathrm{J}):
    F_{\parallel}=\frac{3600}{30}=120\\ \mathrm{N}.
    • Interpretação: isso significa que, ao longo da direção do movimento, a força efetivamente “empurra” com 120\\ \mathrm{N}.
  • Forma 2 — componente vetorial (projeção vetorial de \vec{F} sobre \vec{s}):
    • A projeção vetorial é
    \vec{F}_{\parallel}=\left(\frac{\vec{F}\cdot\vec{s}}{|\vec{s}|^{2}}\right)\vec{s}.
    • Como |\vec{s}|^{2}=30^2=900 e \vec{s}=(30,0):
    \frac{\vec{F}\cdot\vec{s}}{|\vec{s}|^{2}}=\frac{3600}{900}=4,
    então
    \vec{F}_{\parallel}=4\cdot(30,0)=(120,0)\\ \mathrm{N}.
    • Isso confirma a componente escalar 120\\ \mathrm{N} e dá também a direção (eixo x).

Passo 5

Calcular a componente perpendicular e mostrar por que ela não contribui para o trabalho (parte (c)).
  • Primeiro, a decomposição vetorial:
    \vec{F}=\vec{F}_{\parallel}+\vec{F}_{\perp}.
    Já temos \vec{F}_{\parallel}=(120,0)\\ \mathrm{N}, então
    \vec{F}_{\perp}=\vec{F}-\vec{F}_{\parallel}=(120,50)-(120,0)=(0,50)\\ \mathrm{N}.
    A magnitude dessa componente perpendicular é |\vec{F}_{\perp}|=50\\ \mathrm{N}.
  • Agora mostrar matematicamente que \vec{F}_{\perp} não faz trabalho:
    • O trabalho devido à componente perpendicular seria \vec{F}_{\perp}\cdot\vec{s}.
    • Calculando:
    \vec{F}_{\perp}\cdot\vec{s}= (0,50)\cdot(30,0)=0\cdot30 + 50\cdot0 = 0.
    • Logo, a componente perpendicular contribui zero para o trabalho total.
  • Explicação física e geométrica (intuitiva):
    • Trabalho mede a força multiplicada pelo deslocamento na direção da força (projeção). Se a força é perpendicular ao deslocamento, ela não “empurra” na direção em que o corpo se move — ela só tende a desviar ou sustentar sem deslocar naquela direção. Assim, não realiza trabalho sobre o deslocamento considerado.
    • Em termos de produto escalar, vetores perpendiculares têm produto escalar zero; por isso o trabalho é zero.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (resumindo a técnica que deve usar):
  • Para trabalho com forças constantes em linhas retas, aplique sempre W=\vec{F}\cdot\vec{s}.
  • Se pedirem componentes paralela/perpendicular, use projeção vetorial ou calcule F_{\parallel}=W/|\vec{s}|.
  • Conferência rápida: somar os trabalhos das componentes dá o trabalho total porque o produto escalar é linear.

Resposta

(a) W=3600\\ \mathrm{J}
(b) componente na direção do movimento: escalar F_{\parallel}=120\\ \mathrm{N}; vetorial \vec{F}_{\parallel}=(120,0)\\ \mathrm{N}
(c) A componente perpendicular não contribui porque \vec{F}_{\perp}\cdot\vec{s}=0: forças perpendiculares ao deslocamento têm produto escalar zero e, portanto, não realizam trabalho.

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