Problema 16. Determine o vetor projeção de
\vec{u}=(3,1,2)
sobre
\vec{v}=(1,-1,2) .
Em seguida, decomponha \vec{u} na forma
\vec{u}=\vec{u}_{\|}+\vec{u}_{\perp}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(3,1,2)\quad\text{e}\quad \vec{v}=(1,-1,2)
e pede duas coisas:
  • Determinar o vetor projeção de \vec{u} sobre \vec{v} (ou seja, \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}).
  • Decompor \vec{u} na forma \vec{u}=\vec{u}_{\|}+\vec{u}_{\perp}, onde \vec{u}_{\|} é a componente de \vec{u} paralela a \vec{v} e \vec{u}_{\perp} é a componente ortogonal a \vec{v}.

Passo 2

Explicando o que é projeção e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo, como num gabarito de prova).
  • Geometricamente, a projeção de \vec{u} sobre \vec{v} é o vetor paralelo a \vec{v} que representa a “sombra” de \vec{u} ao longo da direção de \vec{v}.
  • Vamos escrever a componente paralela como um múltiplo escalar de \vec{v}: \vec{u}_{\|}=\alpha\,\vec{v},onde \alpha é um número real que precisamos achar.
  • A ideia é que a diferença \vec{u}-\vec{u}_{\|}=\vec{u}-\alpha\vec{v} deve ser ortogonal a \vec{v} (essa diferença é a componente perpendicular). Dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar (ou “dot product”) é zero.
  • O produto escalar entre dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é definido por (a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Então impomos a condição de ortogonalidade: (\vec{u}-\alpha\vec{v})\cdot\vec{v}=0.Desenvolvendo: \vec{u}\cdot\vec{v}-\alpha(\vec{v}\cdot\vec{v})=0e daí obtemos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}.
  • Assim a fórmula da projeção é \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\vec{u}_{\|}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.
Aqui cada símbolo significa: \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}; \vec{v}\cdot\vec{v} é o quadrado da norma de \vec{v}; o quociente é um escalar que multiplica \vec{v}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}.
Usando a definição:
\vec{u}\cdot\vec{v}=(3)\cdot(1)+(1)\cdot(-1)+(2)\cdot(2).
Fazendo as contas, termo a termo:
3\cdot1=3,\qquad 1\cdot(-1)=-1,\qquad 2\cdot2=4.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=3-1+4=6.

Passo 4

Calcular \vec{v}\cdot\vec{v} (que é \lVert\vec{v}\rVert^2).
\vec{v}\cdot\vec{v}=1^2+(-1)^2+2^2=1+1+4=6.

Passo 5

Encontrar o escalar \alpha e calcular a projeção.
Pelo passo 2:
\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\frac{6}{6}=1.
Logo
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\vec{u}_{\|}=\alpha\vec{v}=1\cdot(1,-1,2)=(1,-1,2).

Passo 6

Calcular a componente perpendicular e verificar ortogonalidade.
A componente perpendicular é
\vec{u}_{\perp}=\vec{u}-\vec{u}_{\|}=(3,1,2)-(1,-1,2).
Subtraindo coordenada a coordenada:
\vec{u}_{\perp}=(3-1,\;1-(-1),\;2-2)=(2,2,0).
Verificação de ortogonalidade (checar que \vec{u}_{\perp}\cdot\vec{v}=0):
\vec{u}_{\perp}\cdot\vec{v}=(2)\cdot(1)+(2)\cdot(-1)+(0)\cdot(2)=2-2+0=0,
portanto está correto: \vec{u}_{\perp} é ortogonal a \vec{v}.

Passo 7

Resumo prático para a prova (dica curta): calcule \vec{u}\cdot\vec{v} e \vec{v}\cdot\vec{v}, forme o escalar \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} e multiplique por \vec{v} para obter a projeção; subtraia essa projeção de \vec{u} para obter a componente ortogonal. Vai dar certo — respira fundo e aplica os passos.

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\vec{u}_{\|}=(1,-1,2)
\vec{u}=\vec{u}_{\|}+\vec{u}_{\perp}=(1,-1,2)+(2,2,0)

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