Problema 16. Determine o vetor projeção de
sobre
Em seguida, decomponha
na forma
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e pede duas coisas:
- Determinar o vetor projeção de
sobre (ou seja, ). - Decompor
na forma , onde é a componente de paralela a e é a componente ortogonal a .
Passo 2
Explicando o que é projeção e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo, como num gabarito de prova).
- Geometricamente, a projeção de
sobre é o vetor paralelo a que representa a “sombra” de ao longo da direção de . - Vamos escrever a componente paralela como um múltiplo escalar de
: onde é um número real que precisamos achar. - A ideia é que a diferença
deve ser ortogonal a (essa diferença é a componente perpendicular). Dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar (ou “dot product”) é zero. - O produto escalar entre dois vetores
e é definido por - Então impomos a condição de ortogonalidade:
Desenvolvendo: e daí obtemos - Assim a fórmula da projeção é
Aqui cada símbolo significa:
é o produto escalar entre
e
;
é o quadrado da norma de
; o quociente é um escalar que multiplica
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
.
Usando a definição:
Fazendo as contas, termo a termo:
Somando:
Passo 4
Calcular
(que é
).
Passo 5
Encontrar o escalar
e calcular a projeção.
Pelo passo 2:
Logo
Passo 6
Calcular a componente perpendicular e verificar ortogonalidade.
A componente perpendicular é
Subtraindo coordenada a coordenada:
Verificação de ortogonalidade (checar que
):
portanto está correto:
é ortogonal a
.
Passo 7
Resumo prático para a prova (dica curta): calcule
e
, forme o escalar
e multiplique por
para obter a projeção; subtraia essa projeção de
para obter a componente ortogonal. Vai dar certo — respira fundo e aplica os passos.