(a) Encontre os autovalores. (b) Verifique que possuem parte real positiva. (c) Classifique o equilíbrio na origem. (d) Esboce o retrato de fase (espirais saindo da origem).
e pede quatro coisas:
(a) encontrar os autovalores de A;
(b) verificar que esses autovalores têm parte real positiva;
(c) classificar o equilíbrio na origem (estável/instável, nó/selim/foco/etc.);
(d) esboçar o retrato de fase (especificamente: espirais saindo da origem).
Dados relevantes que o enunciado dá: a matriz A com entradas a_{11}=1, a_{12}=-3, a_{21}=2, a_{22}=1.
A resolução começará a seguir nos passos seguintes.]
Passo 2
Encontrar autovalores: método e cálculo passo a passo.
Para achar autovalores \lambda de uma matriz 2\times2 usamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0.
Para uma matriz \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} o determinante é ad-bc. Também é útil saber que o polinômio característico fica
\lambda^{2}-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0,
onde \operatorname{tr}A=a+d é a soma das diagonais (traço) e \det A=ad-bc é o determinante. Vamos aplicar isso à nossa matriz A.
Calcule o traço:
\operatorname{tr}A = 1+1 = 2.
Calcule o determinante:
\det A = 1\cdot 1 - (-3)\cdot 2 = 1 + 6 = 7.
Logo o polinômio característico é
\lambda^{2} - 2\lambda + 7 = 0.
Agora usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para resolver \lambda^{2}-2\lambda+7=0. A fórmula diz que, para a\lambda^{2}+b\lambda+c=0,
Verificação da parte real positiva (resposta à parte (b)).
Escrevemos os autovalores obtidos:
\lambda_{1,2} = 1 \pm i\sqrt{6}.
A parte real de ambos os autovalores é \Re(\lambda_{1})=\Re(\lambda_{2})=1. Como 1>0, ambos têm parte real positiva.
Explicação didática do porquê isso importa: para um autovalor \lambda=\alpha+i\omega a solução associada localmente comporta-se como e^{\lambda t}=e^{\alpha t}e^{i\omega t}. O fator e^{\alpha t} controla crescimento/decrescimento em amplitude: se \alpha>0 a amplitude cresce exponencialmente (instabilidade), se \alpha<0 decresce (estabilidade). O fator e^{i\omega t} introduz oscilações/rotação (senos e cossenos). Aqui \alpha=1>0 e \omega=\sqrt{6}\neq 0, então teremos oscilações com amplitude que cresce exponencialmente.
Passo 4
Classificação do equilíbrio na origem (resposta à parte (c)) com justificativa detalhada.
Regras importantes (ensinando a teoria necessária):
Se os autovalores são reais e distintos, podemos ter nós ou selins dependendo dos sinais.
Se os autovalores são complexos conjugados \alpha\pm i\omega com \omega\neq 0, o comportamento é de foco (também chamado de espiral): as trajetórias giram em torno da origem.
O sinal de \alpha (parte real) determina se é foco estável (\alpha<0) ou foco instável (\alpha>0).
No nosso caso temos \lambda=1\pm i\sqrt{6} com \alpha=1>0 e \omega=\sqrt{6}\neq0. Portanto o equilíbrio na origem é um foco instável (em português: foco/espiral repellente) — as trajetórias espiralam para fora conforme t\to+\infty.
Para reforçar a intuição com a forma das soluções reais: seja um autovetor complexo v=p+iq associado a \lambda=\alpha+i\omega. Então duas soluções fundamentais reais do sistema são
Essas soluções têm fator e^{\alpha t} que dilata (se \alpha>0) ou contrai (se \alpha<0) e combina seno/cosseno (rotação). Isso produz precisamente uma espiral: rotação \times crescimento/decrescimento radial.
Passo 5
Cálculo explícito do autovetor (para entender direção e sentido de rotação) e fórmula das soluções reais (detalhada, sem pular passos).
Tomemos \lambda=1+i\omega com \omega=\sqrt{6}. Queremos um autovetor v tal que (A-\lambda I)v=0. Escrevemos A-\lambda I:
Essas combinações deixam claro: há fator e^{t} (crescimento exponencial) e componentes em seno/cosseno (rotação). Logo trajetórias giram enquanto se afastam da origem — exatamente um foco instável.]
Passo 6
Determinar o sentido das espirais (importante para o esboço pedido em (d)) e instruções práticas para desenhar o retrato de fase.
Para saber se a rotação é no sentido horário ou anti-horário podemos avaliar o campo vetorial em um ponto simples, por exemplo na interseção com o eixo x: pegue \mathbf{x}=(1,0)^{T}. Calculamos
No ponto (1,0) a derivada aponta para cima e para a direita, ou seja, com componente y'>0. Isso indica que a trajetória que parte do eixo positivo x se move inicialmente para cima — portanto a rotação é no sentido anti-horário (contrário ao sentido dos ponteiros do relógio).
Como resumo prático para desenhar o retrato:
Desenhe a origem como ponto de equilíbrio (foco).
As trajetórias são espirais que saem da origem (porque \alpha=1>0).
O giro é anti-horário (verificado acima).
Não há direções reais de autovetores (porque autovalores são complexos), então não existem linhas próprias reais atravessando a origem; as trajetórias simplesmente espiralam sem seguir retas particulares.
Para esboçar: pegue algumas condições iniciais, desenhe pequenas curvas que giram anti-horário e cujos raios aumentam exponencialmente à medida que se afastam do centro.]
Resposta
(a) \lambda_{1,2}=1\pm i\sqrt{6}.
(b) Sim; \Re(\lambda_{1})=\Re(\lambda_{2})=1>0.
(c) A origem é um foco (espiral) instável — foco repelente.
(d) Retrato de fase: espirais saindo da origem (amplitude cresce), girando no sentido anti-horário.