(a) Determine os autovalores e diga se são reais. (b) Mostre que ambos são negativos. (c) Classifique o equilíbrio na origem como nó estável. (d) Esboce o retrato de fase indicando a direção dominante.
(a) Determinar os autovalores e dizer se são reais.
(b) Mostrar que ambos são negativos.
(c) Classificar o equilíbrio na origem como nó estável (ou não).
(d) Esboçar o retrato de fase indicando a direção dominante.
Informações relevantes dadas: a matriz A acima (é uma matriz 2\times2, triangular superior). A partir disso devemos encontrar autovalores, autovetores, discutir sinais e estabilidade, e descrever o comportamento das soluções no plano.]
Passo 2
Como primeiro passo prático, vamos achar os autovalores \lambda. Para isso usamos o polinômio característico definido por \det(A-\lambda I)=0. Lembre o que é cada coisa: I é a matriz identidade 2\times2, e \det é o determinante. Escrevendo
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, então
\det(A-\lambda I)=(-3-\lambda)(-2-\lambda).
Igualando a zero obtemos o polinômio característico
(-3-\lambda)(-2-\lambda)=0.
Assim os autovalores são as raízes desse produto.]
Passo 3
Resolvendo as raízes do produto do passo anterior, temos diretamente
-3-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-3,
-2-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-2.
Portanto os autovalores são \lambda_1=-3 e \lambda_2=-2. Como são números reais, concluímos que ambos os autovalores são reais.
Passo 4
Agora vamos encontrar os autovetores associados a cada autovalor — isto é, vetores \mathbf{v}\neq\mathbf{0} tais que (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Isso também ajuda a entender a geometria do fluxo.
Resolvendo \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix} obtemos a equação y=0 (a segunda linha dá o mesmo). Logo y=0 e x é livre. Um autovetor associado é
Os autovetores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 são linearmente independentes (não múltiplos um do outro), como era de esperar pois os autovalores são distintos.]
Passo 5
Vamos escrever a solução geral do sistema usando a decomposição nos autovetores. Qualquer condição inicial \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0 pode ser escrita como combinação linear
\mathbf{x}_0=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2,
para alguns escalares c_1,c_2. Para sistemas lineares com autovetores \mathbf{v}_i e autovalores \lambda_i temos a solução
Isto é muito útil: mostra como cada componente ao longo dos autovetores decai exponencialmente com taxa dada pelo autovalor.]
Passo 6
Agora respondo (b) e a parte de estabilidade. Já vimos que \lambda_1=-3 e \lambda_2=-2. Ambos são menores que zero, logo são negativos. Uma regra importante (e aqui explico como usar na prova) é: para o sistema \mathbf{x}'=A\mathbf{x}, se todas as partes reais dos autovalores de A são negativas, então a origem é assintoticamente estável (isto é, todas as soluções tendem para a origem quando t\to\infty). No nosso caso as partes reais são exatamente -3 e -2, ambos negativos, portanto a origem é assintoticamente estável.
Passo 7
Classificação como nó estável (resposta ao item (c)). Explico a terminologia passo a passo:
“Nó” ocorre quando os autovalores são reais e (no caso bidimensional) as direções próprias são duas retas distintas — isto gera trajetórias que vão diretamente em direção à origem sem oscilar.
Se os autovalores são negativos, chamamos de “nó estável” (ou “sumidouro” / “stable node”), porque todas as trajetórias convergem para a origem.
No nosso caso os autovalores são reais, distintos e negativos, e os autovetores formam uma base do plano, então a origem é um nó estável (mais precisamente, um nó próprio, ou stable node).
Passo 8
Direção dominante e comportamento assintótico (resposta ao item (d)). Observe as taxas de decaimento: e^{-3t} decai mais rápido que e^{-2t}. Assim, para t grande, a contribuição c_1 e^{-3t}\mathbf{v}_1 fica muito pequena comparada com c_2 e^{-2t}\mathbf{v}_2 (desde que c_2\neq0). Portanto a direção que domina a aproximação final à origem é a autovetorial associada ao autovalor com a maior parte real (isto é, o menos negativo) — aqui \lambda_2=-2 é maior que \lambda_1=-3, então a direção dominante é \mathbf{v}_2=(1,1)^T, que geometricamente é a reta y=x.
Explicando de forma intuitiva: uma componente inicial na direção \mathbf{v}_1 (eixo x) “some” mais rápido; o que sobra para t grande é a componente ao longo da reta y=x. Por isso as trajetórias se aproximam tangentes à reta y=x quando vão para a origem — essa é a direção dominante.
Passo 9
Descrição do retrato de fase (instrução prática para desenhar na prova):
Plote as duas retas autovetoriais: reta 1 é o eixo x (direção de \mathbf{v}_1=(1,0)); reta 2 é a linha y=x (direção de \mathbf{v}_2=(1,1)).
Em cada ponto dessas retas as soluções seguem a reta (porque autovetores geram soluções em linha), e como os autovalores são negativos as setas apontam para a origem ao longo dessas retas.
Para um ponto genérico (não sobre as retas próprias), a trajetória vai curvar-se do comportamento inicial (influenciado por ambas as componentes) e, após um tempo, acaba alinhando-se com a reta y=x e se aproxima da origem seguindo essa direção.
Como \lambda_2=-2 é menos negativo, a aproximação final é lenta ao longo de y=x; a direção x-axis (associada a -3) é a direção de decaimento mais rápido.
Em resumo visual: todas as curvas dirigem-se para o ponto (0,0), sem espiralar, com flechas apontadas para dentro; perto da origem as curvas se tornam quase paralelas à reta y=x.
Resposta
(a) \lambda_1=-3 e \lambda_2=-2; ambos são reais.
(b) \lambda_1=-3<0 e \lambda_2=-2<0, logo ambos são negativos.
(c) A origem é um nó estável (stable node / sumidouro), pois as duas autovalores são reais, distintos e negativos.
(d) Autovetores: \mathbf{v}_1=(1,0)^T (reta y=0) e \mathbf{v}_2=(1,1)^T (reta y=x). Direção dominante: a reta y=x associada a \lambda_2=-2 (por ser o autovalor menos negativo). O retrato de fase mostra todas as trajetórias indo para a origem sem oscilações, com setas apontando para dentro; trajectórias tornam-se assintoticamente paralelas à reta y=x.