PROBLEMA 15- Um trabalhador quer empilhar areia em uma área circular em seu quintal. O raio do círculo é R. Nenhuma areia deve sair para fora da área determinada. Mostre que o volume máximo de areia que pode ser estocado dessa maneira é pi mue R^3 / 3, onde mue é o coeficiente de atrito estático da areia com a areia. (O volume do cone é 4 A h / 3, onde A é a área da base e h é a altura.)

Passo 1

O enunciado pede o volume máximo de areia que pode formar um monte cônico sobre um disco de raio R, sem que a areia deslize para fora. O conteúdo envolvido é o ângulo de repouso da areia (dado pelo coeficiente de atrito estático mue) e o volume de um cone circular.

Passo 2

O ângulo de repouso phi satisfaz
tanphi = mue
Num cone de base de raio a e altura h, a inclinação lateral é tfracha=tanalpha. Para não haver deslizamento, devemos ter
tanalpha <= tanphi Longrightarrow ha<=mue Longrightarrow h<= mue,a

Passo 3

Como o cone não pode ultrapassar o disco de raio R, vale a<= R. O volume de um cone circular é
V=13,pi,a^2,h
Usando o limite h<=muea, obtemos
V(a)<= 13,pi,a^2(muea) =13,pi,mue,a^3

Passo 4

Para maximizar V(a)=tfrac13pimuea^3 no intervalo 0<= a<= R, basta tomar a=R. Então
hmax=mueR e Vmax =13,pi,R^2(mueR) =pi,mue,R^33

Resposta

Vmax=pi,mue,R^33

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