PROBLEMA 15- Um trabalhador quer empilhar areia em uma área circular em seu quintal. O raio do círculo é
. Nenhuma areia deve sair para fora da área determinada. Mostre que o volume máximo de areia que pode ser estocado dessa maneira é
, onde
é o coeficiente de atrito estático da areia com a areia. (O volume do cone é
, onde
é a área da base e
é a altura.)
Passo 1
O enunciado pede o volume máximo de areia que pode formar um monte cônico sobre um disco de raio
, sem que a areia deslize para fora. O conteúdo envolvido é o ângulo de repouso da areia (dado pelo coeficiente de atrito estático
) e o volume de um cone circular.
Passo 2
O ângulo de repouso
satisfaz
Num cone de base de raio
e altura
, a inclinação lateral é
. Para não haver deslizamento, devemos ter
Passo 3
Como o cone não pode ultrapassar o disco de raio
, vale
. O volume de um cone circular é
Usando o limite
, obtemos
Passo 4
Para maximizar
no intervalo
, basta tomar
. Então