PROBLEMA 27- A mola de um disparador de brinquedo tem constante elástica de 7,25 N / cm. O disparador é inclinado de 36,0^circ acima da horizontal e dispara uma bola de 78 g à altura de 1,9 m acima da boca do disparador. (a) Qual a velocidade de saída da bola? (b) De quanto deve ter sido comprimida inicialmente a bola?

Passo 1

O enunciado dá uma mola com constante elástica k = 7,25;N/cm = 725;N/m, inclinada em theta = 36,0^circ, que lança uma bola de massa m = 78;g = 0,078;kg. A bola atinge altura máxima h = 1,9;m acima da boca do disparador. Para resolver:
– (a) usamos cinemática de projétil para achar a velocidade de saída v0.
– (b) aplicamos conservação de energia entre a mola comprimida e o instante de partida, incluindo trabalho contra a gravidade ao longo da rampa.

Passo 2

Para chegar à altura h, a componente vertical da velocidade inicial v0sintheta deve zerar-se ao atingir o máximo. Da equação de Torricelli para o eixo vertical:
0 = (v0sintheta)^2 ;-; 2,g,h
Isolando v0
v0 = raiz2,g,hsin^2theta

Passo 3

Substituindo g = 9,80;m/s^2, h = 1,9;m e sin36,0^circ approx 0,588:
v0 = raiz2cdot 9,80cdot 1,9(0,588)^2 approx raiz37,240,588 approx 6,1030,588 approx 10,4;m/s

Passo 4

Na compressão x a mola armazena energia tfrac12 kx^2, que se converte em energia cinética tfrac12 m v0^2 e em energia potencial gravitacional enquanto a bola se desloca x ao longo da rampa (elevação xsintheta). Logo:
tfrac12,k,x^2 ;=; tfrac12,m,v0^2 ;+; m,g,(xsintheta)

Passo 5

Essa é uma equação quadrática em x. Reescrevendo e multiplicando por 2:
k,x^2 ;-; 2,m,g,sintheta,x ;-; m,v0^2 ;=; 0
A raiz positiva é
x = 2,m,g,sintheta + raiz(2,m,g,sintheta)^2 + 4,k,m,v0^22,k
Numericamente, com m=0,078, g=9,80, sin36^circ=0,588, k=725 e v0=10,4:
x approx 0,449 + raiz0,449^2 + 725cdot0,078cdot(10,4)^2725 approx 0,108;m

Resposta

(a) v0 approx 10,4;m/s
(b) x approx 0,108;m ( approx 10,8 cm).

Exercícios relacionados