Problema 2.16. Decomponha em produtos de primos os seguintes números: 4, 6, 8, 28, 36, 84, 320 e 2597.
Sugestão: Para o número 2597 , note que se esse número é composto há certamente um número primo p<51 que o divide, pois 51^2>2597 (veja a observação que fizemos ao descrevermos o Crivo de Eratóstenes).

Passo 1

O enunciado pede para decompor em fatores primos os números
,4,6,8,28,36,84,320 e 2597. O conteúdo é fatoração por divisão sucessiva e a observação de que, se um número composto n não for divisível pelos primos até raiz n, então ele próprio é primo.

Passo 2

A técnica que usaremos é a divisão sucessiva pelo menor primo possível. Para cada n, escolhemos o menor primo p que divide n e repetimos o processo com o quociente até chegar a 1. Note que, se em algum momento o quociente for primo ou ficar 1, terminamos.

Passo 3

Fatoração de 4, 6 e 8 por divisão por 2:
4div2=2, 2div2=1 Rightarrow 4=2^2.
6div2=3, 3div3=1 Rightarrow 6=2cdot3.
8div2=4, 4div2=2, 2div2=1 Rightarrow 8=2^3.

Passo 4

Fatoração de 28, 36 e 84:
28: 28div2=14, 14div2=7, 7div7=1 Rightarrow 28=2^2cdot7.
36: 36div2=18, 18div2=9, 9div3=3, 3div3=1 Rightarrow 36=2^2cdot3^2.
84: 84div2=42, 42div2=21, 21div3=7, 7div7=1 Rightarrow 84=2^2cdot3cdot7.

Passo 5

Fatoração de 320:
320div2=160, 160div2=80, 80div2=40, 40div2=20, 20div2=10, 10div2=5, 5div5=1.
Foram seis divisões por 2 e uma por 5, logo
320 = 2^6 cdot 5

Passo 6

Fatoração de 2597. Como raiz2597approx51, basta testar primos até 50:
  • 2, 3, 5 não dividem.
  • Testando 7: 2597div7=371.
  • Em 371, testamos de novo 7: 371div7=53.
    Como 53 é primo e sobra 1, temos
2597 = 7^2 cdot 53

Resposta

4 = 2^2 6 = 2cdot3 8 = 2^3 28 = 2^2cdot7 36 = 2^2cdot3^2 84 = 2^2cdot3cdot7 320 = 2^6cdot5 2597 = 7^2cdot53

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