Problema 3.26.
(a) Mostre que a soma de três inteiros consecutivos é sempre múltiplo de 3 .
(b) Dados três inteiros consecutivos, mostre que um deles é múltiplo de 3 e a soma dos outros dois também.
(b) Dados três inteiros consecutivos, mostre que um deles é múltiplo de 3 e a soma dos outros dois também.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre três inteiros consecutivos:
(a) mostrar que a soma deles é sempre múltiplo de 3;
(b) mostrar que, entre esses três, um é múltiplo de 3 e a soma dos outros dois também é múltiplo de 3.
O conteúdo principal aqui é divisibilidade e aritmética modular.
(a) mostrar que a soma deles é sempre múltiplo de 3;
(b) mostrar que, entre esses três, um é múltiplo de 3 e a soma dos outros dois também é múltiplo de 3.
O conteúdo principal aqui é divisibilidade e aritmética modular.
Passo 2
Seja
um inteiro qualquer; então os três inteiros consecutivos são
A soma desses três é
Passo 3
Como
é claramente um múltiplo de 3, concluímos a parte (a):
a soma de três inteiros consecutivos é sempre múltiplo de 3.
a soma de três inteiros consecutivos é sempre múltiplo de 3.
Passo 4
Para (b), usamos o fato de que todo inteiro
pode ser escrito na forma
onde
é inteiro e
.
- Se
, então já é múltiplo de 3. - Se
, então é múltiplo de 3. - Se
, então é múltiplo de 3.
Em qualquer caso, um dos três inteiros é múltiplo de 3.
Passo 5
Da parte (a) sabemos que a soma total dos três é
. Supondo que
seja aquele termo múltiplo de 3 identificado no passo anterior, a soma dos outros dois é
Como
também é múltiplo de 3, a diferença de dois múltiplos de 3 é múltiplo de 3. Logo, a soma dos outros dois também é múltiplo de 3.
Resposta
(a) A soma é
, múltiplo de 3.
(b) Por aritmética modular um dos termos é múltiplo de 3, e subtrair esse termo da soma total (que é múltiplo de 3) deixa a soma dos outros dois também múltipla de 3.
(b) Por aritmética modular um dos termos é múltiplo de 3, e subtrair esse termo da soma total (que é múltiplo de 3) deixa a soma dos outros dois também múltipla de 3.