Problema 3.26.

(a) Mostre que a soma de três inteiros consecutivos é sempre múltiplo de 3 .
(b) Dados três inteiros consecutivos, mostre que um deles é múltiplo de 3 e a soma dos outros dois também.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre três inteiros consecutivos:
(a) mostrar que a soma deles é sempre múltiplo de 3;
(b) mostrar que, entre esses três, um é múltiplo de 3 e a soma dos outros dois também é múltiplo de 3.
O conteúdo principal aqui é divisibilidade e aritmética modular.

Passo 2

Seja n um inteiro qualquer; então os três inteiros consecutivos são
n,;n+1,;n+2
A soma desses três é
n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3,(n+1)

Passo 3

Como 3(n+1) é claramente um múltiplo de 3, concluímos a parte (a):
a soma de três inteiros consecutivos é sempre múltiplo de 3.

Passo 4

Para (b), usamos o fato de que todo inteiro n pode ser escrito na forma
n = 3k + r,
onde k é inteiro e rin0,1,2.
  • Se r=0, então n=3k já é múltiplo de 3.
  • Se r=1, então n+2 = 3k + 3 = 3(k+1) é múltiplo de 3.
  • Se r=2, então n+1 = 3k + 3 = 3(k+1) é múltiplo de 3.
    Em qualquer caso, um dos três inteiros é múltiplo de 3.

Passo 5

Da parte (a) sabemos que a soma total dos três é 3(n+1). Supondo que m seja aquele termo múltiplo de 3 identificado no passo anterior, a soma dos outros dois é
l(n + (n+1) + (n+2)r) - m = 3(n+1) - m
Como m também é múltiplo de 3, a diferença de dois múltiplos de 3 é múltiplo de 3. Logo, a soma dos outros dois também é múltiplo de 3.

Resposta

(a) A soma é n+(n+1)+(n+2)=3(n+1), múltiplo de 3.
(b) Por aritmética modular um dos termos é múltiplo de 3, e subtrair esse termo da soma total (que é múltiplo de 3) deixa a soma dos outros dois também múltipla de 3.

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