Problema 16 Um próton possui momento linear com módulo
quando sua velocidade é de
. Em termos de
, qual é o módulo do momento
linear do próton quando sua velocidade dobra para 0,800 c?
linear do próton quando sua velocidade dobra para 0,800 c?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vem a seguir:
- Um próton tem momento linear de módulo
quando sua velocidade é . - A velocidade do próton dobra para
. - Pergunta: em termos de
, qual é o módulo do momento linear do próton na velocidade ?
Passo 2
Para velocidades relativísticas (fração significativa de
) o momento linear não é simplesmente
como na mecânica clássica; usa-se a fórmula relativística:
onde:
-
é o momento linear, -
é a massa de repouso do próton, -
é a velocidade do próton, -
é o fator de Lorentz, com .
Explicando devagar:
cresce quando
se aproxima de
; é o ajuste relativístico que faz o momento aumentar mais do que linearmente com
. Aqui vou usar essa fórmula para relacionar os momentos nos dois estados e eliminar a massa
, que não conhecemos.
Passo 3
Denotemos:
- estado 1 (velocidade
) com momento ; - estado 2 (velocidade
) com momento (o que queremos achar).
Escrevendo a fórmula para os dois estados:
onde
e
são os fatores de Lorentz para
e
respectivamente.
Isolando
da primeira equação e substituindo na segunda:
Logo
Isso é ótimo: expressamos
apenas em termos de
, das velocidades e dos
correspondentes.
Passo 4
Agora calculamos
e
.
Para
temos
. Então
Note que
, então
e
Para
temos
. Então
Passo 5
Substituímos
,
,
e
na expressão de
:
O fator
cancela. Simplificando os números:
Como
, obtemos
Como referência numérica,
, ou seja
. Mas a forma exata em termos de
é
.