Problema 16 Um próton possui momento linear com módulo p_{0} quando sua velocidade é de 0,400 \mathrm{c}. Em termos de p_{0}, qual é o módulo do momento
linear do próton quando sua velocidade dobra para 0,800 c?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vem a seguir:
  • Um próton tem momento linear de módulo \,p_0 quando sua velocidade é \,0{,}400\,c.
  • A velocidade do próton dobra para \,0{,}800\,c.
  • Pergunta: em termos de \,p_0, qual é o módulo do momento linear do próton na velocidade \,0{,}800\,c?

Passo 2

Para velocidades relativísticas (fração significativa de \,c) o momento linear não é simplesmente \,mv como na mecânica clássica; usa-se a fórmula relativística:
p = \gamma\, m v,
onde:
  • \,p é o momento linear,
  • \,m é a massa de repouso do próton,
  • \,v é a velocidade do próton,
  • \displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} é o fator de Lorentz, com \,\beta=\dfrac{v}{c}.
Explicando devagar: \gamma cresce quando v se aproxima de c; é o ajuste relativístico que faz o momento aumentar mais do que linearmente com v. Aqui vou usar essa fórmula para relacionar os momentos nos dois estados e eliminar a massa m, que não conhecemos.

Passo 3

Denotemos:
  • estado 1 (velocidade \,v_1=0{,}400\,c) com momento \,p_0;
  • estado 2 (velocidade \,v_2=0{,}800\,c) com momento \,p_2 (o que queremos achar).
Escrevendo a fórmula para os dois estados:
p_0 = \gamma_1\, m v_1, \qquad p_2 = \gamma_2\, m v_2,
onde \gamma_1 e \gamma_2 são os fatores de Lorentz para \,v_1 e \,v_2 respectivamente.
Isolando m da primeira equação e substituindo na segunda:
m = \frac{p_0}{\gamma_1 v_1} \quad\Rightarrow\quad p_2 = \gamma_2\left(\frac{p_0}{\gamma_1 v_1}\right)v_2.
Logo
p_2 = p_0\;\frac{\gamma_2 v_2}{\gamma_1 v_1}.
Isso é ótimo: expressamos p_2 apenas em termos de p_0, das velocidades e dos \gamma correspondentes.

Passo 4

Agora calculamos \gamma_1 e \gamma_2.
Para \,v_1=0{,}400\,c temos \beta_1=0{,}400. Então
\gamma_1=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-(0{,}400)^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{1-0{,}16}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}84}}.
Note que 0{,}84=\dfrac{21}{25}, então \sqrt{0{,}84}=\dfrac{\sqrt{21}}{5} e
\gamma_1=\frac{1}{\sqrt{0{,}84}}=\frac{5}{\sqrt{21}}.
Para \,v_2=0{,}800\,c temos \beta_2=0{,}800. Então
\gamma_2=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_2^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-(0{,}800)^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}36}}=\frac{1}{0{,}6}=\frac{5}{3}.

Passo 5

Substituímos \gamma_1, \gamma_2, v_1 e v_2 na expressão de p_2:
p_2 = p_0\;\frac{\gamma_2 v_2}{\gamma_1 v_1} = p_0\;\frac{\dfrac{5}{3}\cdot(0{,}800\,c)}{\dfrac{5}{\sqrt{21}}\cdot(0{,}400\,c)}.
O fator c cancela. Simplificando os números:
\frac{\dfrac{5}{3}\cdot 0{,}800}{\dfrac{5}{\sqrt{21}}\cdot 0{,}400} = \frac{5}{3}\cdot\frac{0{,}800}{1}\cdot\frac{\sqrt{21}}{5}\cdot\frac{1}{0{,}400} = \frac{\sqrt{21}}{3}\cdot\frac{0{,}800}{0{,}400}.
Como \dfrac{0{,}800}{0{,}400}=2, obtemos
p_2 = p_0\;\frac{2\sqrt{21}}{3}.
Como referência numérica, \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\approx 3{,}055, ou seja p_2\approx 3{,}055\,p_0. Mas a forma exata em termos de \,p_0 é \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\,p_0.

Resposta

\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\,p_0

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