Problema 7 Um foguete passa pela Terra a 91,0 \% da velocidade da luz. Em seu interior, um astronauta que está passando por um exame físico tem sua altura medida enquanto está deitado, paralelo à direção em que a nave está se movendo. (a) Se a altura medida por seu médico dentro da nave fosse de 2,00 \mathrm{~m}, qual seria a altura medida pela pessoa que assiste a partir da Terra? (b) Se a pessoa na Terra tivesse medido 2,00 \mathrm{~m}, qual seria a altura do astronauta medida pelo médico que está na nave espacial? Essa seria uma altura razoável? (c) Suponha que o astronauta no item (a) se levante após o
exame e esteja com seu corpo perpendicular à direção do movimento. Qual seria agora a altura medida pelo médico no foguete e pelo observador em terra?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados importantes:
    • A velocidade do foguete é v=0,91c (onde c é a velocidade da luz).
    • Em (a) o médico na nave mede a altura do astronauta enquanto ele está deitado paralelamente à direção do movimento: 2,00\\ \mathrm{m}.
    • Em (b) a pessoa na Terra mede 2,00\\ \mathrm{m} e pede para descobrir o que o médico mediria.
    • Em (c) o astronauta fica perpendicular à direção do movimento; pede-se a altura medida pelo médico (na nave) e pelo observador na Terra.
  • O que o enunciado pergunta:
    • (a) Se o médico mede 2,00\\ \mathrm{m} (no referencial da nave), qual altura mede o observador na Terra?
    • (b) Se o observador na Terra mede 2,00\\ \mathrm{m}, qual altura mede o médico na nave? Isso é razoável?
    • (c) Se o astronauta fica perpendicular ao movimento, quais alturas medem o médico e o observador na Terra?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Em relatividade especial, o comprimento de um objeto medido no referencial em que o objeto está em repouso é chamado de comprimento próprio, que vou chamar de L_0.
  • Um observador que vê o objeto se movendo à velocidade v mede um comprimento contraído na direção do movimento. A fórmula da contração de Lorentz é:
L = \frac{L_0}{\gamma},
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz.
  • Aqui:
    • L_0 = comprimento próprio (medido no referencial do objeto),
    • L = comprimento medido no referencial onde o objeto se move a v,
    • v = velocidade relativa entre observadores,
    • c = velocidade da luz.
  • Observação importante (fácil de esquecer): a contração ocorre somente na direção do movimento. Componentes perpendiculares ao movimento não se contraem; ou seja, se o objeto fica com seu comprimento perpendicular à velocidade, tanto o observador que está em movimento com o objeto quanto o observador externo medem o mesmo valor nessa direção.

Passo 3

Calcular o fator \gamma para v=0,91c.
Calculemos primeiro \dfrac{v^2}{c^2}:
\dfrac{v^2}{c^2} = 0,91^2 = 0,8281.
Então
1-\dfrac{v^2}{c^2} = 1-0,8281 = 0,1719.
A raiz quadrada é
\sqrt{0,1719}\approx 0,4147.
Portanto
\gamma = \frac{1}{0,4147}\approx 2,4109 \approx 2,41.
(Guarde \gamma\approx 2,4109 para os cálculos; vou arredondar resultados finais com 3 algarismos significativos quando fizer sentido.)

Passo 4

Resolução do item (a).
  • Situação: o médico dentro da nave mede a altura do astronauta deitado (paralelo ao movimento) como L_0 = 2,00\\ \mathrm{m}. Esse é o comprimento próprio porque é medido no referencial onde o astronauta está em repouso.
  • O observador na Terra vê o astronauta se mover a v, logo mede o comprimento contraído
L = \frac{L_0}{\gamma}.
Substituindo:
L = \frac{2,00}{2,4109}\\ \mathrm{m}\approx 0,8296\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma conveniente:
L \approx 0,830\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: para quem está na Terra o astronauta “parece” bem mais baixo quando está alinhado com a direção do movimento — isso é a contração de Lorentz.

Passo 5

Resolução do item (b).
  • Agora a hipótese é que o observador na Terra mediu L = 2,00\\ \mathrm{m}. Nesse caso esse L é o comprimento contraído; o comprimento próprio (o que o médico mediria no referencial da nave) é
L_0 = \gamma L.
  • Substituindo:
L_0 = 2,4109 \times 2,00\\ \mathrm{m} \approx 4,8218\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
L_0 \approx 4,82\\ \mathrm{m}.
Discussão: isso significaria que, no referencial do astronauta (ou do médico), o astronauta teria cerca de 4,82\\ \mathrm{m} de altura — o que não é razoável para um ser humano normal. Portanto, se a Terra mediu 2,00\\ \mathrm{m} para um astronauta, então no referencial do astronauta ele teria que ter uma altura própria muito grande ( \approx 4,82\\ \mathrm{m}), o que não é plausível para uma pessoa real. Em outras palavras: ou a medição de 2,00\\ \mathrm{m} na Terra corresponde a um objeto cujo comprimento próprio é cerca de 4,82\\ \mathrm{m}, ou então não estamos falando de um humano típico.

Passo 6

Resolução do item (c).
  • Agora o astronauta fica em pé perpendicularmente à direção do movimento. Regra física chave: comprimentos na direção perpendicular ao movimento NÃO se contraem. Logo:
    • No referencial do médico (nave), a altura do astronauta perpendicular continua sendo o comprimento próprio L_0. Se partimos do caso (a) em que o médico mediu L_0=2,00\\ \mathrm{m}, ao levantar-se essa altura própria não muda: o médico mede
L_{\text{médico}} = 2,00\\ \mathrm{m}.é
  • O observador na Terra, medindo a componente perpendicular ao movimento, também obtém o mesmo valor (nenhuma contração nessa direção):
L_{\text{Terra}} = 2,00\\ \mathrm{m}.
Comentário final: a aparência relativística muda com a orientação do objeto. Na direção do movimento há contração; perpendicularmente, nada muda.

Resposta

(a) 0,830\\ \mathrm{m}
(b) 4,82\\ \mathrm{m}; não, não seria uma altura razoável para um humano
(c) médico (nave): 2,00\\ \mathrm{m}
observador na Terra: 2,00\\ \mathrm{m}

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