Problema 7 Um foguete passa pela Terra a
da velocidade da luz. Em seu interior, um astronauta que está passando por um exame físico tem sua altura medida enquanto está deitado, paralelo à direção em que a nave está se movendo. (a) Se a altura medida por seu médico dentro da nave fosse de
, qual seria a altura medida pela pessoa que assiste a partir da Terra? (b) Se a pessoa na Terra tivesse medido
, qual seria a altura do astronauta medida pelo médico que está na nave espacial? Essa seria uma altura razoável? (c) Suponha que o astronauta no item (a) se levante após o
exame e esteja com seu corpo perpendicular à direção do movimento. Qual seria agora a altura medida pelo médico no foguete e pelo observador em terra?
exame e esteja com seu corpo perpendicular à direção do movimento. Qual seria agora a altura medida pelo médico no foguete e pelo observador em terra?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados importantes:
- A velocidade do foguete é
(onde é a velocidade da luz). - Em (a) o médico na nave mede a altura do astronauta enquanto ele está deitado paralelamente à direção do movimento:
. - Em (b) a pessoa na Terra mede
e pede para descobrir o que o médico mediria. - Em (c) o astronauta fica perpendicular à direção do movimento; pede-se a altura medida pelo médico (na nave) e pelo observador na Terra.
- A velocidade do foguete é
-
O que o enunciado pergunta:
- (a) Se o médico mede
(no referencial da nave), qual altura mede o observador na Terra? - (b) Se o observador na Terra mede
, qual altura mede o médico na nave? Isso é razoável? - (c) Se o astronauta fica perpendicular ao movimento, quais alturas medem o médico e o observador na Terra?
- (a) Se o médico mede
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Em relatividade especial, o comprimento de um objeto medido no referencial em que o objeto está em repouso é chamado de comprimento próprio, que vou chamar de
. - Um observador que vê o objeto se movendo à velocidade
mede um comprimento contraído na direção do movimento. A fórmula da contração de Lorentz é:
onde
é o fator de Lorentz.
- Aqui:
-
= comprimento próprio (medido no referencial do objeto), -
= comprimento medido no referencial onde o objeto se move a , -
= velocidade relativa entre observadores, -
= velocidade da luz.
-
- Observação importante (fácil de esquecer): a contração ocorre somente na direção do movimento. Componentes perpendiculares ao movimento não se contraem; ou seja, se o objeto fica com seu comprimento perpendicular à velocidade, tanto o observador que está em movimento com o objeto quanto o observador externo medem o mesmo valor nessa direção.
Passo 3
Calcular o fator
para
.
Calculemos primeiro
:
Então
A raiz quadrada é
Portanto
(Guarde
para os cálculos; vou arredondar resultados finais com 3 algarismos significativos quando fizer sentido.)
Passo 4
Resolução do item (a).
- Situação: o médico dentro da nave mede a altura do astronauta deitado (paralelo ao movimento) como
. Esse é o comprimento próprio porque é medido no referencial onde o astronauta está em repouso. - O observador na Terra vê o astronauta se mover a
, logo mede o comprimento contraído
Substituindo:
Arredondando de forma conveniente:
Interpretação rápida: para quem está na Terra o astronauta “parece” bem mais baixo quando está alinhado com a direção do movimento — isso é a contração de Lorentz.
Passo 5
Resolução do item (b).
- Agora a hipótese é que o observador na Terra mediu
. Nesse caso esse é o comprimento contraído; o comprimento próprio (o que o médico mediria no referencial da nave) é
- Substituindo:
Arredondando:
Discussão: isso significaria que, no referencial do astronauta (ou do médico), o astronauta teria cerca de
de altura — o que não é razoável para um ser humano normal. Portanto, se a Terra mediu
para um astronauta, então no referencial do astronauta ele teria que ter uma altura própria muito grande (
), o que não é plausível para uma pessoa real. Em outras palavras: ou a medição de
na Terra corresponde a um objeto cujo comprimento próprio é cerca de
, ou então não estamos falando de um humano típico.
Passo 6
Resolução do item (c).
- Agora o astronauta fica em pé perpendicularmente à direção do movimento. Regra física chave: comprimentos na direção perpendicular ao movimento NÃO se contraem. Logo:
- No referencial do médico (nave), a altura do astronauta perpendicular continua sendo o comprimento próprio
. Se partimos do caso (a) em que o médico mediu , ao levantar-se essa altura própria não muda: o médico mede
- No referencial do médico (nave), a altura do astronauta perpendicular continua sendo o comprimento próprio
- O observador na Terra, medindo a componente perpendicular ao movimento, também obtém o mesmo valor (nenhuma contração nessa direção):
Comentário final: a aparência relativística muda com a orientação do objeto. Na direção do movimento há contração; perpendicularmente, nada muda.
Resposta
(a)
(b)
; não, não seria uma altura razoável para um humano
(c) médico (nave):
observador na Terra:
observador na Terra: