(Problema 18.2, Ref. [1]) Ajuste um polinômio interpolador para fazer uma estimativa do logaritmo em base 10 log (10) usando os dados log (8)= 0,9030900, log (9)=0,9542425 e log (11)=1,0413927. Aplique os seguintes polinômios interpoladores:
(a) Polinômio interpolador de Newton de segundo grau.
(b) Polinômio interpolador de Lagrange de segundo grau.

Passo 1

O enunciado fornece três valores de log10(x):
log10(8)=0,9030900,
log10(9)=0,9542425 e
log10(11)=1,0413927,
e pede uma estimativa de log10(10) por meio de polinômios interpoladores de grau 2 nas formas de Newton e de Lagrange. Para isso, vamos usar diferenças divididas (Newton) e bases de Lagrange.

Passo 2

Construção do polinômio de Newton de grau 2 e avaliação em x=10:
x0=8, x1=9, x2=11,
f[x0]=0,9030900, f[x1]=0,9542425, f[x2]=1,0413927,
f[x0,x1]=0,9542425-0,90309009-8=0,0511525, f[x1,x2]=1,0413927-0,954242511-9=0,0435751,
f[x0,x1,x2] =0,0435751-0,051152511-8 =-0,0025258
Logo o polinômio de Newton é
PN(x)=0,9030900 +0,0511525,(x-8) -0,0025258,(x-8)(x-9),
e em x=10:
PN(10) =0,9030900 +0,0511525cdot2 -0,0025258cdot(2cdot1) approx1,0003434

Passo 3

Construção do polinômio de Lagrange de grau 2 e avaliação em x=10:
As bases são
L0(x)=(x-9)(x-11)(8-9)(8-11)=(x-9)(x-11)3,
L1(x)=(x-8)(x-11)(9-8)(9-11)=-(x-8)(x-11)2,
L2(x)=(x-8)(x-9)(11-8)(11-9)=(x-8)(x-9)6
Assim
PL(x) =0,9030900,L0(x) +0,9542425,L1(x) +1,0413927,L2(x)
Em x=10 temos
L0(10)=-tfrac13, L1(10)=1, L2(10)=tfrac13,
PL(10) =0,9030900l(-tfrac13r) +0,9542425cdot1 +1,0413927l(tfrac13r) approx1,0003434,
o mesmo resultado de Newton.

Resposta

(a) Polinômio de Newton:
PN(x)=0,9030900 +0,0511525,(x-8) -0,0025258,(x-8)(x-9), PN(10)approx1,0003434
(b) Polinômio de Lagrange:
PL(x) =0,9030900,(x-9)(x-11)3 -0,9542425,(x-8)(x-11)2 +1,0413927,(x-8)(x-9)6, PL(10)approx1,0003434

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