Problema 18. Sejam
e
conjuntos, com
. Mostre que
. Dica: a letra (a) do exercício 7 é uma propriedade válida, use ela.
Passo 1
O enunciado dá:
- Temos conjuntos
e . - Sabe-se que
.
O que pede mostrar:
- Que
.
Lista clara do que cada símbolo significa (para não nos perder):
-
é a união dos elementos de . -
denota o conjunto das partes (power set) de , isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de . - A afirmação a provar diz que
é um elemento do conjunto . Relembrando: é o conjunto de todos os subconjuntos de . Portanto precisamos provar que é um subconjunto de .
Passo 2
Definições essenciais (explicadas devagar):
- Definição de união:
. Ou seja, um elemento pertence a quando ele pertence a pelo menos um dos elementos de . - Definição de power set:
. Ou seja, um conjunto pertence a exatamente quando todo elemento de também é elemento de . - Definição de subconjunto:
significa que .
Essas definições são as ferramentas que vamos usar passo a passo.
Passo 3
Usar a propriedade indicada (a) do exercício 7: ela afirma exatamente que, se
, então
.
Explicação intuitiva: como
é um dos elementos de
, todos os elementos de
aparecem na união de todos os elementos de
; por isso
.
Formalmente, aplicando a definição da união: tome um elemento arbitrário
. Como
e
, existe um elemento de
(que é
mesmo) que contém
. Pela definição da união, isso implica
. Como isso vale para todo
, concluímos
.
Passo 4
Agora vamos relacionar as power sets. Tome um elemento qualquer
. Pela definição de
, isso significa que
.
Como já mostramos
(Passo 3), pela transitividade da relação de inclusão obtemos
. Em palavras: se tudo de
está em
e tudo de
está em
, então tudo de
está em
.
Pela definição de power set,
implica
.
Passo 5
O raciocínio do Passo 4 vale para qualquer elemento
de
. Portanto todo elemento de
pertence a
. Em símbolo:
Explicação em palavras: cada subconjunto de
é também subconjunto de
, então o conjunto de todos os subconjuntos de
está contido no conjunto de todos os subconjuntos de
.
Passo 6
Concluir a afirmação desejada. Por definição de power set, um conjunto
pertence a
exatamente quando
.
Como acabamos de provar
, segue que
Isso é exatamente o que o enunciado pedia.
Passo 7
Um exemplo concreto (para fixar): seja
e escolha
. Então
. Temos
e cada uma dessas quatro partes é subconjunto de
, logo
e portanto
. Exemplo simples para ver a ideia na prática.