Problema 18. Sejam A e X conjuntos, com X \in A. Mostre que \wp(X) \in \wp(\wp(\bigcup A)). Dica: a letra (a) do exercício 7 é uma propriedade válida, use ela.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Temos conjuntos A e X.
  • Sabe-se que X \in A.
O que pede mostrar:
  • Que \wp(X) \in \wp(\wp(\bigcup A)).
Lista clara do que cada símbolo significa (para não nos perder):
  • \bigcup A é a união dos elementos de A.
  • \wp(S) denota o conjunto das partes (power set) de S, isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de S.
  • A afirmação a provar diz que \wp(X) é um elemento do conjunto \wp(\wp(\bigcup A)). Relembrando: \wp(\wp(\bigcup A)) é o conjunto de todos os subconjuntos de \wp(\bigcup A). Portanto precisamos provar que \wp(X) é um subconjunto de \wp(\bigcup A).

Passo 2

Definições essenciais (explicadas devagar):
  • Definição de união: \bigcup A = \{\,x \mid \exists B\in A \text{ tal que } x\in B\,\}. Ou seja, um elemento x pertence a \bigcup A quando ele pertence a pelo menos um dos elementos de A.
  • Definição de power set: \wp(S)=\{\,Y \mid Y\subseteq S\,\}. Ou seja, um conjunto Y pertence a \wp(S) exatamente quando todo elemento de Y também é elemento de S.
  • Definição de subconjunto: Y\subseteq S significa que \forall y\,(y\in Y \Rightarrow y\in S).
Essas definições são as ferramentas que vamos usar passo a passo.

Passo 3

Usar a propriedade indicada (a) do exercício 7: ela afirma exatamente que, se X\in A, então X\subseteq \bigcup A.
Explicação intuitiva: como X é um dos elementos de A, todos os elementos de X aparecem na união de todos os elementos de A; por isso X\subseteq\bigcup A.
Formalmente, aplicando a definição da união: tome um elemento arbitrário x\in X. Como X\in A e x\in X, existe um elemento de A (que é X mesmo) que contém x. Pela definição da união, isso implica x\in\bigcup A. Como isso vale para todo x\in X, concluímos X\subseteq\bigcup A.

Passo 4

Agora vamos relacionar as power sets. Tome um elemento qualquer Y\in\wp(X). Pela definição de \wp(X), isso significa que Y\subseteq X.
Como já mostramos X\subseteq\bigcup A (Passo 3), pela transitividade da relação de inclusão obtemos Y\subseteq\bigcup A. Em palavras: se tudo de Y está em X e tudo de X está em \bigcup A, então tudo de Y está em \bigcup A.
Pela definição de power set, Y\subseteq\bigcup A implica Y\in\wp(\bigcup A).

Passo 5

O raciocínio do Passo 4 vale para qualquer elemento Y de \wp(X). Portanto todo elemento de \wp(X) pertence a \wp(\bigcup A). Em símbolo:
\wp(X)\subseteq\wp(\bigcup A).
Explicação em palavras: cada subconjunto de X é também subconjunto de \bigcup A, então o conjunto de todos os subconjuntos de X está contido no conjunto de todos os subconjuntos de \bigcup A.

Passo 6

Concluir a afirmação desejada. Por definição de power set, um conjunto Z pertence a \wp(\wp(\bigcup A)) exatamente quando Z\subseteq\wp(\bigcup A).
Como acabamos de provar \wp(X)\subseteq\wp(\bigcup A), segue que
\wp(X)\in\wp(\wp(\bigcup A)).
Isso é exatamente o que o enunciado pedia.

Passo 7

Um exemplo concreto (para fixar): seja A=\{\{1,2\},\{2,3\}\} e escolha X=\{1,2\}. Então \bigcup A=\{1,2,3\}. Temos \wp(X)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\} e cada uma dessas quatro partes é subconjunto de \bigcup A, logo \wp(X)\subseteq\wp(\bigcup A) e portanto \wp(X)\in\wp(\wp(\bigcup A)). Exemplo simples para ver a ideia na prática.

Resposta

\wp(X)\in\wp(\wp(\bigcup A))

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