Problema 17. Mostre que
. Sobre que condições vale a igualdade?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que
. - Dizer sob que condições ocorre a igualdade
.
Informações dadas (assumidas já corretas no enunciado):
-
é um conjunto cujos elementos são conjuntos (ou seja, é uma família de conjuntos). - A notação
e têm os significados usuais (união de uma família e conjunto das partes, respectivamente).
Passo 2
Lembretes e definições que vamos usar (explicados devagarzinho):
-
é o conjunto . Em palavras: é o conjunto de todos os elementos que aparecem em algum membro de . -
(ou ) é o conjunto de todos os subconjuntos de . Ou seja, exatamente quando . - Para provar uma inclusão de conjuntos
pela via elementar, escolhe-se um elemento arbitrário e mostra-se que .
Passo 3
Prova elementar da inclusão. Seja um elemento arbitrário
. O objetivo é mostrar
. Pelo significado de
, isso equivale a mostrar que
Então pegamos um elemento arbitrário
e mostramos
. Mas como
e
, existe (pelo próprio
) um membro de
que contém
. Logo, pela definição de união,
Como
foi um elemento arbitrário de
, concluímos que todo
satisfaz
, isto é
.
Passo 4
Da conclusão do passo anterior segue que
. Como
era arbitrário, concluímos
Este é o objetivo da primeira parte do enunciado. Uma observação rápida: na prática essa inclusão costuma ser estrita (isto é,
geralmente não contém todos os subconjuntos de
), porque
costuma ser muito maior do que uma família
qualquer.
Passo 5
Agora a segunda parte: quando vale a igualdade
?
- Primeiro, se
então, por definição, todo subconjunto de pertence a . Isso é imediato pela igualdade. - Reciprocamente, se todo subconjunto de
pertence a (isto é, se para todo vale ), então contém precisamente todos os elementos de , logo .
Portanto a condição necessária e suficiente para a igualdade é simplesmente que
contenha todos os subconjuntos de
.
Passo 6
Alguns exemplos para fixar a ideia:
- Exemplo em que a igualdade ocorre: se
para algum conjunto , então e . Outro caso trivial: . Aqui e . - Exemplo em que a inclusão é estrita:
. Então e tem quatro elementos , portanto .
Passo 7
Resumo didático curto: cada membro de
é, por definição, um subconjunto da união de
; por isso todo elemento de
está na
da união. Para ter igualdade é preciso (e basta) que a família
já seja exatamente o conjunto de todas as partes da sua união.
Resposta
A igualdade