Problema 17. Mostre que A \subset \wp(\bigcup A). Sobre que condições vale a igualdade?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que A \subset \wp\bigl(\bigcup A\bigr).
  • Dizer sob que condições ocorre a igualdade A=\wp\bigl(\bigcup A\bigr).
Informações dadas (assumidas já corretas no enunciado):
  • A é um conjunto cujos elementos são conjuntos (ou seja, A é uma família de conjuntos).
  • A notação \bigcup A e \wp(\cdot) têm os significados usuais (união de uma família e conjunto das partes, respectivamente).

Passo 2

Lembretes e definições que vamos usar (explicados devagarzinho):
  • \bigcup A é o conjunto \{x \mid \exists X\in A\text{ tal que }x\in X\}. Em palavras: é o conjunto de todos os elementos que aparecem em algum membro de A.
  • \wp(B) (ou \mathcal P(B)) é o conjunto de todos os subconjuntos de B. Ou seja, S\in \wp(B) exatamente quando S\subset B.
  • Para provar uma inclusão de conjuntos C\subset D pela via elementar, escolhe-se um elemento arbitrário c\in C e mostra-se que c\in D.

Passo 3

Prova elementar da inclusão. Seja um elemento arbitrário X\in A. O objetivo é mostrar X\in \wp\bigl(\bigcup A\bigr). Pelo significado de \wp, isso equivale a mostrar que
X \subset \bigcup A.
Então pegamos um elemento arbitrário x\in X e mostramos x\in \bigcup A. Mas como X\in A e x\in X, existe (pelo próprio X) um membro de A que contém x. Logo, pela definição de união,
x\in \bigcup A.
Como x foi um elemento arbitrário de X, concluímos que todo x\in X satisfaz x\in \bigcup A, isto é X\subset \bigcup A.

Passo 4

Da conclusão do passo anterior segue que X\in \wp\bigl(\bigcup A\bigr). Como X\in A era arbitrário, concluímos
A \subset \wp\bigl(\bigcup A\bigr).
Este é o objetivo da primeira parte do enunciado. Uma observação rápida: na prática essa inclusão costuma ser estrita (isto é, A geralmente não contém todos os subconjuntos de \bigcup A), porque \wp\bigl(\bigcup A\bigr) costuma ser muito maior do que uma família A qualquer.

Passo 5

Agora a segunda parte: quando vale a igualdade A=\wp\bigl(\bigcup A\bigr)?
  • Primeiro, se A=\wp\bigl(\bigcup A\bigr) então, por definição, todo subconjunto de \bigcup A pertence a A. Isso é imediato pela igualdade.
  • Reciprocamente, se todo subconjunto de \bigcup A pertence a A (isto é, se para todo S\subset \bigcup A vale S\in A), então A contém precisamente todos os elementos de \wp\bigl(\bigcup A\bigr), logo A=\wp\bigl(\bigcup A\bigr).
Portanto a condição necessária e suficiente para a igualdade é simplesmente que A contenha todos os subconjuntos de \bigcup A.

Passo 6

Alguns exemplos para fixar a ideia:
  • Exemplo em que a igualdade ocorre: se A=\wp(S) para algum conjunto S, então \bigcup A=\bigcup \wp(S)=S e \wp\bigl(\bigcup A\bigr)=\wp(S)=A. Outro caso trivial: A=\{\varnothing\}. Aqui \bigcup A=\varnothing e \wp(\bigcup A)=\{\varnothing\}=A.
  • Exemplo em que a inclusão é estrita: A=\{\{1\},\{2\}\}. Então \bigcup A=\{1,2\} e \wp\bigl(\bigcup A\bigr) tem quatro elementos \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}, portanto A\subsetneq \wp\bigl(\bigcup A\bigr).

Passo 7

Resumo didático curto: cada membro de A é, por definição, um subconjunto da união de A; por isso todo elemento de A está na \wp da união. Para ter igualdade é preciso (e basta) que a família A já seja exatamente o conjunto de todas as partes da sua união.

Resposta

A \subset \wp\bigl(\bigcup A\bigr).
A igualdade A=\wp\bigl(\bigcup A\bigr) vale exatamente quando todo subconjunto de \bigcup A pertence a A (ou seja, quando A é a potência \wp\bigl(\bigcup A\bigr) da sua união).

Exercícios relacionados