Problema 16. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
.
Informações relevantes que temos:
-
é um conjunto qualquer (podendo ser vazio ou não). -
denota o conjunto das partes (power set) de , isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de . -
é a união de todos os elementos de ; ou seja, a união de todos os subconjuntos de .
O objetivo é provar a igualdade entre os conjuntos
e
.
Passo 2
Vou explicar as definições que vamos usar (para você poder aplicar direto na prova):
Definição de
:
Isto significa: um conjunto
pertence a
exatamente quando todo elemento de
também pertence a
.
Definição de união de uma família de conjuntos:
Se é uma família de conjuntos, então
Se
No nosso caso
, logo
Estratégia usual para provar igualdade entre dois conjuntos
e
: provar as duas inclusões
Vou seguir essa estratégia.
Passo 3
Provar
.
Tomemos um elemento arbitrário
tal que
. Pela definição de união, existe algum
com
.
Como
, por definição de
temos
. A definição de subconjunto significa que todo elemento de
é também elemento de
: ou seja,
.
Portanto
. Como
foi um elemento arbitrário de
, concluímos
Passo 4
Provar
.
Tomemos um elemento arbitrário
. Considere o conjunto singleton
. Claramente
(todo elemento de
é
, que está em
). Assim
.
Como
e
, pela definição de união segue que
(existe um conjunto em
— exatamente
— que contém
).
Como
foi escolhido arbitrariamente em
, concluímos
Passo 5
Juntando as duas inclusões obtidas nos passos anteriores temos
portanto por definição de igualdade de conjuntos
Como checagem rápida e concreta: se
então
e
.
Força aí — prova direta, curta e com as ideias que você pode usar na prova: mostrar as duas inclusões, usando singleton para a inclusão
.