Problema 16. Mostre que \bigcup \wp(X)=X.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \bigcup \wp(X)=X.
Informações relevantes que temos:
  • X é um conjunto qualquer (podendo ser vazio ou não).
  • \wp(X) denota o conjunto das partes (power set) de X, isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de X.
  • \bigcup \wp(X) é a união de todos os elementos de \wp(X); ou seja, a união de todos os subconjuntos de X.
O objetivo é provar a igualdade entre os conjuntos \bigcup \wp(X) e X.

Passo 2

Vou explicar as definições que vamos usar (para você poder aplicar direto na prova):
Definição de \wp(X):
\wp(X)=\{A \mid A\subseteq X\}.
Isto significa: um conjunto A pertence a \wp(X) exatamente quando todo elemento de A também pertence a X.
Definição de união de uma família de conjuntos:
Se \mathcal{F} é uma família de conjuntos, então
\bigcup \mathcal{F}=\{y \mid \exists A\in\mathcal{F} \text{ tal que } y\in A\}.
No nosso caso \mathcal{F}=\wp(X), logo
\bigcup \wp(X)=\{y \mid \exists A\in\wp(X)\text{ com }y\in A\}.
Estratégia usual para provar igualdade entre dois conjuntos U e V: provar as duas inclusões
U\subseteq V\quad\text{e}\quad V\subseteq U.
Vou seguir essa estratégia.

Passo 3

Provar \bigcup \wp(X)\subseteq X.
Tomemos um elemento arbitrário y tal que y\in\bigcup \wp(X). Pela definição de união, existe algum A\in\wp(X) com y\in A.
Como A\in\wp(X), por definição de \wp(X) temos A\subseteq X. A definição de subconjunto significa que todo elemento de A é também elemento de X: ou seja, y\in A\Rightarrow y\in X.
Portanto y\in X. Como y foi um elemento arbitrário de \bigcup \wp(X), concluímos
\bigcup \wp(X)\subseteq X.

Passo 4

Provar X\subseteq \bigcup \wp(X).
Tomemos um elemento arbitrário x\in X. Considere o conjunto singleton \{x\}. Claramente \{x\}\subseteq X (todo elemento de \{x\} é x, que está em X). Assim \{x\}\in\wp(X).
Como x\in\{x\} e \{x\}\in\wp(X), pela definição de união segue que x\in\bigcup \wp(X) (existe um conjunto em \wp(X) — exatamente \{x\} — que contém x).
Como x foi escolhido arbitrariamente em X, concluímos
X\subseteq \bigcup \wp(X).

Passo 5

Juntando as duas inclusões obtidas nos passos anteriores temos
\bigcup \wp(X)\subseteq X\quad\text{e}\quad X\subseteq \bigcup \wp(X),
portanto por definição de igualdade de conjuntos
\bigcup \wp(X)=X.
Como checagem rápida e concreta: se X=\{1,2\} então
\wp(X)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\} e
\bigcup \wp(X)=\varnothing\cup\{1\}\cup\{2\}\cup\{1,2\}=\{1,2\}=X.
Força aí — prova direta, curta e com as ideias que você pode usar na prova: mostrar as duas inclusões, usando singleton para a inclusão X\subseteq\bigcup\wp(X).

Resposta

\bigcup \wp(X)=X

Exercícios relacionados