Problema 20. Seja
(a) determine a área do paralelogramo gerado por
e
;
(b) determine a área do triângulo gerado por
e
;
(b) determine a área do triângulo gerado por
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e pede duas coisas:
- (a) a área do paralelogramo gerado por
e ; - (b) a área do triângulo gerado por
e .
Passo 2
Ideia-chave (fórmula e significado). Quando temos dois vetores em
, a área do paralelogramo formado por eles é o módulo do produto vetorial (cross product)
Aqui
é um vetor perpendicular ao plano dos vetores e cujo comprimento é exatamente a base vezes a altura do paralelogramo gerado por
e
. Para o triângulo formado pelos mesmos vetores a área é metade da do paralelogramo:
Passo 3
Fórmula prática para calcular o produto vetorial de
e
:
Aqui cada
é a
-ésima componente de
e cada
é a
-ésima componente de
.
Passo 4
Aplicando a fórmula aos números dados: para
e
temos
,
,
,
,
,
. Então
Portanto
Passo 5
Agora calculamos o módulo de
. Para um vetor
vale
Aplicando a
:
Simplificando
. Logo a área do paralelogramo é
.
Passo 6
Área do triângulo é metade da área do paralelogramo. Assim