Problema 20. Seja
\vec{u}=(2,1,-1) \quad \text { e } \quad \vec{v}=(1,-2,3)
(a) determine a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v};
(b) determine a área do triângulo gerado por \vec{u} e \vec{v};

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(2,1,-1)\quad\text{e}\quad \vec{v}=(1,-2,3)
e pede duas coisas:
  • (a) a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v};
  • (b) a área do triângulo gerado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Ideia-chave (fórmula e significado). Quando temos dois vetores em \mathbb{R}^3, a área do paralelogramo formado por eles é o módulo do produto vetorial (cross product)
\text{Área do paralelogramo} = \|\vec{u}\times\vec{v}\|.Á
Aqui \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular ao plano dos vetores e cujo comprimento é exatamente a base vezes a altura do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}. Para o triângulo formado pelos mesmos vetores a área é metade da do paralelogramo:
\text{Área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\|\vec{u}\times\vec{v}\|.Áâ

Passo 3

Fórmula prática para calcular o produto vetorial de \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3):
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\big).
Aqui cada u_i é a i-ésima componente de \vec{u} e cada v_i é a i-ésima componente de \vec{v}.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos números dados: para \vec{u}=(2,1,-1) e \vec{v}=(1,-2,3) temos u_1=2, u_2=1, u_3=-1, v_1=1, v_2=-2, v_3=3. Então
\begin{aligned} (\vec{u}\times\vec{v})_1 &= u_2v_3-u_3v_2 = 1\cdot 3 - (-1)\cdot(-2) = 3 - 2 = 1,\\[4pt] (\vec{u}\times\vec{v})_2 &= u_3v_1-u_1v_3 = (-1)\cdot 1 - 2\cdot 3 = -1 - 6 = -7,\\[4pt] (\vec{u}\times\vec{v})_3 &= u_1v_2-u_2v_1 = 2\cdot(-2) - 1\cdot 1 = -4 - 1 = -5. \end{aligned}
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(1,-7,-5).]

Passo 5

Agora calculamos o módulo de \vec{u}\times\vec{v}. Para um vetor \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) vale
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^{2}+w_2^{2}+w_3^{2}}.
Aplicando a \vec{u}\times\vec{v}=(1,-7,-5):
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+(-7)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{1+49+25}=\sqrt{75}.
Simplificando \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}. Logo a área do paralelogramo é 5\sqrt{3}.

Passo 6

Área do triângulo é metade da área do paralelogramo. Assim
\text{Área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\cdot 5\sqrt{3}=\tfrac{5}{2}\sqrt{3}.Áâ

Resposta

5\sqrt{3}
\tfrac{5}{2}\sqrt{3}

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