Problema 19. Considere os pontos A(1,0,2), B(3,-1,4) e C(2,2,1).
(a) determine os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C};
(b) obtenha um vetor normal ao plano que contém os pontos A, B e C;
(c) escreva a equação cartesiana desse plano.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço:
  • A(1,0,2)
  • B(3,-1,4)
  • C(2,2,1)
As perguntas são:
(a) determinar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC};
(b) obter um vetor normal ao plano que contém A,B,C;
(c) escrever a equação cartesiana desse plano.

Passo 2

Como se calcula um vetor entre dois pontos: o vetor que vai de P(x_1,y_1,z_1) até Q(x_2,y_2,z_2) é obtido subtraindo coordenada a coordenada:
\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Aplicando isso a \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}=(3-1,\;-1-0,\;4-2)=(2,\,-1,\;2).
\overrightarrow{AC}=(2-1,\;2-0,\;1-2)=(1,\;2,\;-1).
Explicando em palavras: subtrai-se a coordenada do ponto inicial da coordenada do ponto final em cada componente (x, y, z).

Passo 3

Para achar um vetor normal ao plano determinado por A,B,C precisamos de um vetor perpendicular ao plano. Dois vetores no plano que podemos usar são \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. O produto vetorial (cross product) de dois vetores dá um vetor perpendicular a ambos.
Fórmula (determinante) para o produto vetorial de \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3):
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Agora aplicando com \mathbf{u}=\overrightarrow{AB}=(2,-1,2) e \mathbf{v}=\overrightarrow{AC}=(1,2,-1):
Calcule cada componente:
\begin{aligned} \text{componente }x &: \;u_2v_3-u_3v_2 = (-1)(-1)-2\cdot2 = 1-4 = -3,\\[4pt] \text{componente }y &: \;u_3v_1-u_1v_3 = 2\cdot1-2\cdot(-1) = 2+2 = 4,\\[4pt] \text{componente }z &: \;u_1v_2-u_2v_1 = 2\cdot2-(-1)\cdot1 = 4+1 = 5. \end{aligned}
Portanto um vetor normal é
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-3,\;4,\;5).
Observação: qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{n} também é normal ao plano (por exemplo (3,-4,-5) seria igualmente válido).]

Passo 4

Equação do plano: se \mathbf{n}=(a,b,c) é um vetor normal e P_0(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então o vetor (x-x_0,y-y_0,z-z_0) é ortogonal a \mathbf{n}, logo:
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui podemos usar o ponto A(1,0,2) como P_0 e \mathbf{n}=(-3,4,5) como normal. Substituindo:
-3(x-1)+4(y-0)+5(z-2)=0.
Agora expandindo e simplificando:
-3x+3+4y+5z-10=0
-3x+4y+5z-7=0.
Opcionalmente multiplicando por -1 obtemos a forma equivalente
3x-4y-5z+7=0.
Ambas representam o mesmo plano; escolha a forma que preferir.

Passo 5

Verificação rápida (sanidade): substituir B(3,-1,4) na equação -3x+4y+5z-7
-3\cdot3+4\cdot(-1)+5\cdot4-7=-9-4+20-7=0,
e para C(2,2,1):
-3\cdot2+4\cdot2+5\cdot1-7=-6+8+5-7=0.
Isso confirma que B e C estão no plano obtido.

Resposta

(a) \overrightarrow{AB}=(2,-1,2),\quad \overrightarrow{AC}=(1,2,-1)
(b) \mathbf{n}=(-3,4,5)
(c) -3x+4y+5z-7=0

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