Problema 19. Considere os pontos A(1,0,2), B(3,-1,4) e C(2,2,1).
(a) determine os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C};
(b) obtenha um vetor normal ao plano que contém os pontos A, B e C;
(c) escreva a equação cartesiana desse plano.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço:
A(1,0,2)
B(3,-1,4)
C(2,2,1)
As perguntas são:
(a) determinar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC};
(b) obter um vetor normal ao plano que contém A,B,C;
(c) escrever a equação cartesiana desse plano.
Passo 2
Como se calcula um vetor entre dois pontos: o vetor que vai de P(x_1,y_1,z_1) até Q(x_2,y_2,z_2) é obtido subtraindo coordenada a coordenada:
Explicando em palavras: subtrai-se a coordenada do ponto inicial da coordenada do ponto final em cada componente (x, y, z).
Passo 3
Para achar um vetor normal ao plano determinado por A,B,C precisamos de um vetor perpendicular ao plano. Dois vetores no plano que podemos usar são \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. O produto vetorial (cross product) de dois vetores dá um vetor perpendicular a ambos.
Fórmula (determinante) para o produto vetorial de \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3):
Observação: qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{n} também é normal ao plano (por exemplo (3,-4,-5) seria igualmente válido).]
Passo 4
Equação do plano: se \mathbf{n}=(a,b,c) é um vetor normal e P_0(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então o vetor (x-x_0,y-y_0,z-z_0) é ortogonal a \mathbf{n}, logo:
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui podemos usar o ponto A(1,0,2) como P_0 e \mathbf{n}=(-3,4,5) como normal. Substituindo:
-3(x-1)+4(y-0)+5(z-2)=0.
Agora expandindo e simplificando:
-3x+3+4y+5z-10=0
-3x+4y+5z-7=0.
Opcionalmente multiplicando por -1 obtemos a forma equivalente
3x-4y-5z+7=0.
Ambas representam o mesmo plano; escolha a forma que preferir.
Passo 5
Verificação rápida (sanidade): substituir B(3,-1,4) na equação -3x+4y+5z-7 dá