Problema 23. Considere os vetores
\vec{a}=(1,2,0), \quad \vec{b}=(2,1,1), \quad \vec{c}=(3,0,2)
(a) calcule o produto misto [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}];
(b) decida se os três vetores são coplanares;
(c) decida se eles formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{a}=(1,2,0),\qquad \vec{b}=(2,1,1),\qquad \vec{c}=(3,0,2).
As perguntas são:
(a) calcular o produto misto [\vec{a},\vec{b},\vec{c}];
(b) decidir se os três vetores são coplanares;
(c) decidir se eles formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Definição e estratégia para (a). O produto misto de três vetores em \mathbb{R}^{3} pode ser definido como
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).
Uma forma prática de calcular é usar o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Ou seja,
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}.
Explico rapidamente o que é esse determinante: é um número obtido a partir das componentes que coincide com o produto misto; geometricamente, o valor absoluto é o volume orientado do paralelepípedo gerado pelos três vetores. Vou calcular esse determinante expandindo pela primeira linha.]

Passo 3

Cálculo do determinante (passo a passo). Expandindo pela primeira linha:
\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} &= 1\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 \end{vmatrix} - 2\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1\\[4pt] 3 & 2 \end{vmatrix} + 0\cdot(\cdots). \end{aligned}
Agora calculo os menores 2\times2:
\begin{vmatrix} 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 \end{vmatrix}=1\cdot2-1\cdot0=2, \qquad \begin{vmatrix} 2 & 1\\[4pt] 3 & 2 \end{vmatrix}=2\cdot2-1\cdot3=4-3=1.
Substituindo:
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = 1\cdot 2 - 2\cdot 1 + 0 = 2-2=0.]

Passo 4

Interpretação para (b). O produto misto nulo tem significado geométrico: o valor absoluto de [\vec{a},\vec{b},\vec{c}] é o volume do paralelepípedo formado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Se esse volume é zero, os três vetores estão no mesmo plano (ou são colineares), isto é, são coplanares. Como encontramos
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=0,
conclui-se que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares.

Passo 5

Interpretação para (c) e teste de independência linear. Em [\mathbb{R}^{3}), três vetores formam uma base se, e somente se, são linearmente independentes (ou seja, não existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero). Um teste prático: os vetores são linearmente independentes exatamente quando o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero. Como o determinante (o produto misto) deu zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Para reforçar, é possível exhibir explicitamente uma combinação linear não trivial que zera os vetores. Procuro \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, tal que
\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=(0,0,0).
Das componentes obtém-se o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta + 3\gamma = 0,\\[4pt] 2\alpha + \beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] 0\alpha + \beta + 2\gamma = 0. \end{cases}
Da segunda equação \beta=-2\alpha\]. Substituindo na terceira: \(-2\alpha+2\gamma=0 \gamma=\alpha. Com \alpha=1 obtemos \beta=-2,\gamma=1 e verificamos
\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}=(0,0,0),
uma relação de dependência não trivial, confirmando que não formam base.]

Resposta

(a) [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=0
(b) Sim, os três vetores são coplanares.
(c) Não, eles não formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

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