(a) calcule o produto misto [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}];
(b) decida se os três vetores são coplanares;
(c) decida se eles formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
As perguntas são:
(a) calcular o produto misto [\vec{a},\vec{b},\vec{c}];
(b) decidir se os três vetores são coplanares;
(c) decidir se eles formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Definição e estratégia para (a). O produto misto de três vetores em \mathbb{R}^{3} pode ser definido como
Explico rapidamente o que é esse determinante: é um número obtido a partir das componentes que coincide com o produto misto; geometricamente, o valor absoluto é o volume orientado do paralelepípedo gerado pelos três vetores. Vou calcular esse determinante expandindo pela primeira linha.]
Passo 3
Cálculo do determinante (passo a passo). Expandindo pela primeira linha:
Interpretação para (b). O produto misto nulo tem significado geométrico: o valor absoluto de [\vec{a},\vec{b},\vec{c}] é o volume do paralelepípedo formado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Se esse volume é zero, os três vetores estão no mesmo plano (ou são colineares), isto é, são coplanares. Como encontramos
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=0,
conclui-se que \vec{a},\vec{b},\vec{c} são coplanares.
Passo 5
Interpretação para (c) e teste de independência linear. Em [\mathbb{R}^{3}), três vetores formam uma base se, e somente se, são linearmente independentes (ou seja, não existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero). Um teste prático: os vetores são linearmente independentes exatamente quando o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero. Como o determinante (o produto misto) deu zero, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Para reforçar, é possível exhibir explicitamente uma combinação linear não trivial que zera os vetores. Procuro \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, tal que
Da segunda equação \beta=-2\alpha\]. Substituindo na terceira: \(-2\alpha+2\gamma=0 dá \gamma=\alpha. Com \alpha=1 obtemos \beta=-2,\gamma=1 e verificamos
\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}=(0,0,0),
uma relação de dependência não trivial, confirmando que não formam base.]
Resposta
(a) [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=0
(b) Sim, os três vetores são coplanares.
(c) Não, eles não formam uma base de \mathbb{R}^{3}.