Problema 22. Sejam
\vec{u}=(1,0,1), \quad \vec{v}=(2,-1,3), \quad \vec{w}=(0,2,1)
Calcule o produto misto
[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}
e determine o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(1,0,1),\qquad \vec{v}=(2,-1,3),\qquad \vec{w}=(0,2,1)
E pede duas coisas:
  • Calcular o produto misto [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.
  • Determinar o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Passo 2

Vou explicar as ferramentas que vou usar (passo a passo, sem pular etapas).
  1. Produto vetorial (cross product). Para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial é o vetor
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Cada componente é um determinante 2\times2 (menor) que combina componentes de \vec{a} e \vec{b}. O produto vetorial resulta num vetor perpendicular a \vec{a} e \vec{b} e com orientação dada pela regra da mão direita.
  1. Produto escalar (dot product). Para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
\vec{p}\cdot\vec{q}=p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3.
  1. Produto misto e volume. O produto misto [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] pode ser calculado como (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} ou como o determinante da matriz formada por \vec{u},\vec{v},\vec{w} (como linhas ou colunas). O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto misto:
\text{Volume}=\bigl|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\bigr|.

Passo 3

Calcular \vec{u}\times\vec{v} usando a fórmula do produto vetorial. Aqui \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)=(1,0,1) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(2,-1,3). Aplicando cada componente:
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2 = 0\cdot3 - 1\cdot(-1)=0+1=1,
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 = 1\cdot2 - 1\cdot3=2-3=-1,
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 = 1\cdot(-1) - 0\cdot2 = -1-0=-1.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(1,-1,-1).

Passo 4

Agora faço o produto escalar de \vec{u}\times\vec{v} com \vec{w}=(0,2,1):
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} = 1\cdot0 + (-1)\cdot2 + (-1)\cdot1 = 0 -2 -1 = -3.
Logo o produto misto vale -3.

Passo 5

Como verificação alternativa (útil na prova): o produto misto também é o determinante da matriz com as coordenadas de \vec{u},\vec{v},\vec{w} (por exemplo, usando-as como linhas):
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \det\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}.
Calculando o determinante (expansão pela primeira linha):
\det = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} - 0\cdot(\cdots) + 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
Calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = (-1)\cdot1 - 3\cdot2 = -1 -6 = -7,
\det\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2\cdot2 - (-1)\cdot0 = 4 - 0 = 4.
Portanto
\det = 1\cdot(-7) + 1\cdot4 = -7 + 4 = -3,
o que confirma o resultado do passo anterior.

Passo 6

O volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é o valor absoluto do produto misto. Assim
\text{Volume} = \bigl|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\bigr| = \bigl|-3\bigr| = 3.

Resposta

[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = -3
Volume = 3

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