Problema 22. (Competição de Olimpíada Turquia de Matemática - modificada) Considere a equação cúbica
. Utilizando o método da substituição trigonométrica
para alinhar o polinômio à identidade do arco triplo, a maior raiz real dessa equação pode ser expressa exatamente como:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá a equação cúbica
e pede que se encontre a maior raiz real usando a substituição trigonométrica
alinhada com a identidade do arco triplo. As informações relevantes são:
- O polinômio é
. - Queremos a maior raiz real dessa equação, expressa exatamente como uma das alternativas:
A), B) , C) , D) , E) .
Passo 2
Transformar a cúbica para a forma padrão usada com a substituição trigonométrica. Escrevemos a equação na forma depressa
comparando obtemos
e
. A técnica clássica é tentar uma substituição do tipo
onde
será escolhido de modo a simplificar a expressão usando a identidade do arco triplo.
Passo 3
Vou mostrar por que escolher
e como determinar
. Substituindo na cúbica:
Desenvolvendo,
Usamos a identidade do triplo ângulo
ou seja
Substituindo isso em
obtém-se
Assim a equação fica
Escolhemos
para anular o coeficiente de
, isto é impomos
Dividindo por
(supondo
) resulta
Assim
. Isso reduz a equação a
ou seja
Passo 4
Aplicando aos valores
e
:
portanto
. Calculamos
Logo
As soluções para
valendo
em graus são
ou
. Tomando os três valores distintos de
no intervalo
obtemos
Passo 5
As raízes correspondentes são
. Portanto as três raízes reais são
Observando os cossenos:
, enquanto
e
. Portanto a maior raiz é
Resposta
C)