Problema 22. (Competição de Olimpíada Turquia de Matemática - modificada) Considere a equação cúbica x^{3}-12 x-8=0. Utilizando o método da substituição trigonométrica x=k \cos (\theta) para alinhar o polinômio à identidade do arco triplo, a maior raiz real dessa equação pode ser expressa exatamente como:
A) 2 \cos \left(20^{\circ}\right)
B) 4 \cos \left(10^{\circ}\right)
C) 4 \cos \left(20^{\circ}\right)
D) 2 \cos \left(40^{\circ}\right)
E) 4 \cos \left(40^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação cúbica x^{3}-12x-8=0 e pede que se encontre a maior raiz real usando a substituição trigonométrica x=k\cos(\theta) alinhada com a identidade do arco triplo. As informações relevantes são:
  • O polinômio é x^{3}-12x-8.
  • Queremos a maior raiz real dessa equação, expressa exatamente como uma das alternativas:
    A) 2\cos\left(20^{\circ}\right), B) 4\cos\left(10^{\circ}\right), C) 4\cos\left(20^{\circ}\right), D) 2\cos\left(40^{\circ}\right), E) 4\cos\left(40^{\circ}\right).

Passo 2

Transformar a cúbica para a forma padrão usada com a substituição trigonométrica. Escrevemos a equação na forma depressa
x^{3}+px+q=0,
comparando obtemos p=-12 e q=-8. A técnica clássica é tentar uma substituição do tipo
x = 2r\cos\theta,
onde r será escolhido de modo a simplificar a expressão usando a identidade do arco triplo.

Passo 3

Vou mostrar por que escolher x=2r\cos\theta e como determinar r. Substituindo na cúbica:
(2r\cos\theta)^{3}+p(2r\cos\theta)+q=0.
Desenvolvendo,
8r^{3}\cos^{3}\theta + 2pr\cos\theta + q = 0.
Usamos a identidade do triplo ângulo
\cos 3\theta = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta,
ou seja
\cos^{3}\theta = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}.
Substituindo isso em 8r^{3}\cos^{3}\theta obtém-se
8r^{3}\cos^{3}\theta = 2r^{3}\cos 3\theta + 6r^{3}\cos\theta.
Assim a equação fica
2r^{3}\cos 3\theta + (6r^{3}+2pr)\cos\theta + q = 0.
Escolhemos r para anular o coeficiente de \cos\theta, isto é impomos
6r^{3}+2pr=0.
Dividindo por 2r (supondo r\neq0) resulta
3r^{2}+p=0\quad\Rightarrow\quad r^{2} = -\frac{p}{3}.
Assim r=\sqrt{-\dfrac{p}{3}}. Isso reduz a equação a
2r^{3}\cos 3\theta + q = 0,
ou seja
\cos 3\theta = -\frac{q}{2r^{3}}.

Passo 4

Aplicando aos valores p=-12 e q=-8:
r^{2} = -\frac{p}{3} = -\frac{-12}{3} = 4,
portanto r=2. Calculamos
r^{3}=8, \qquad \cos 3\theta = -\frac{q}{2r^{3}} = -\frac{-8}{2\cdot 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}.
Logo
\cos 3\theta = \frac{1}{2}.
As soluções para \cos valendo 1/2 em graus são 3\theta = 60^{\circ}+360^{\circ}k ou 3\theta = 300^{\circ}+360^{\circ}k. Tomando os três valores distintos de \theta no intervalo [0^\circ,360^\circ) obtemos
\theta = 20^{\circ},\quad 140^{\circ},\quad 260^{\circ}.

Passo 5

As raízes correspondentes são x=2r\cos\theta = 4\cos\theta. Portanto as três raízes reais são
x_{1}=4\cos\left(20^{\circ}\right),\quad x_{2}=4\cos\left(140^{\circ}\right),\quad x_{3}=4\cos\left(260^{\circ}\right).
Observando os cossenos: \cos\left(20^{\circ}\right)>0, enquanto \cos\left(140^{\circ}\right)= -\cos\left(40^{\circ}\right)<0 e \cos\left(260^{\circ}\right)=-\cos\left(80^{\circ}\right)<0. Portanto a maior raiz é
4\cos\left(20^{\circ}\right).

Resposta

C) 4 \cos \left(20^{\circ}\right)