Problema 23. (Competição de Olimpíada da Bulgária de Matemática - modificada)
Seja a equação
. Efetuando a mudança de variável por translação
para eliminar o termo quadrático, a equação reduzida pode ser resolvida via identidade do seno do arco triplo. O conjunto das trés raizes reais exatas da equação original é dado por:
A)
, onde
B)
, ande
C)
, onde
D)
, onde
E)
, onde
Seja a equação
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede o conjunto das três raízes reais exatas — as alternativas apresentam formas trigonométricas das raízes. Informações relevantes que temos:
- A equação é um polinômio cúbico com coeficiente do termo quadrático não nulo.
- Foi sugerida a translação
para eliminar o termo quadrático. - As alternativas escrevem as raízes como
na forma , , etc., com ângulos dados em graus.
O que o enunciado pede: identificar qual alternativa (A, B, C, D ou E) descreve corretamente as três raízes reais da equação.
Passo 2
Aplicar a mudança de variável por translação
. Vou substituir
na equação e expandir passo a passo:
Calculo os termos separados:
Agora substituo e somo/subtraio:
Agrupando termos semelhantes:
-
permanece; -
(o termo quadrático foi eliminado); -
; -
.
Logo a equação reduzida é
Passo 3
Agora uso uma substituição trigonométrica clássica para cúbicas do tipo
. A identidade do seno do triplo ângulo é
Reescrevendo,
Se eu definir
então
Substituindo em
:
Factorizo
:
Usando a identidade anterior,
, obtenho
Portanto
Assim, qualquer
que satisfaça
fornece uma solução
da cúbica reduzida.
Passo 4
Resolvo
em graus. As soluções gerais são
Dividindo por
:
Isso produz infinitas soluções, mas como a substituição
dá um conjunto periódico de valores, precisamos escolher três valores de
que gerem as três raízes reais distintas do polinômio cúbico (lembre que um cúbico com coeficientes reais tem no máximo três raízes reais e aqui, pela forma trigonométrica, obtemos três reais distintas).
Escolhas naturais geradas pelas fórmulas são as sequências:
- primeira sequência:
, - segunda sequência:
.
Mas atenção: algumas destas escolhas dão o mesmo valor de
, por exemplo
(pois
), o que geraria raízes repetidas, não as três distintas que procuramos. Precisamos escolher três
(entre as soluções gerais acima) que produzam três valores distintos de
.
Uma escolha que dá três valores distintos é
Verificações rápidas de unicidade:
-
, e são três números distintos; - se tivéssemos escolhido
em vez de , notaríamos que (duplicação), logo essa escolha não fornece três raízes distintas.
Portanto as três soluções para
são
Passo 5
Volto para a variável original
. Lembre que
, então
Substituindo os três valores de
que encontramos, as três raízes reais de
são
Isto corresponde exatamente à alternativa B do enunciado.
Resposta
B)
, onde