Problema 23. (Competição de Olimpíada da Bulgária de Matemática - modificada)
Seja a equação x^{3}-6 x^{2}+9 x-1=0. Efetuando a mudança de variável por translação y=x-2 para eliminar o termo quadrático, a equação reduzida pode ser resolvida via identidade do seno do arco triplo. O conjunto das trés raizes reais exatas da equação original é dado por:
A) x=2+2 \operatorname{sen}(\theta), onde \theta \in\left\{10^{\circ}, 50^{\circ}, 130^{\circ}\right\}
B) x=2+2 \operatorname{sen}(\theta), ande \theta \in\left\{10^{\circ}, 50^{\circ},-70^{\circ}\right\}
C) x=1+2 \operatorname{sen}(\theta), onde \theta \in\left\{20^{\circ}, 40^{\circ}, 80^{\circ}\right\}
D) x=2+\operatorname{sen}(\theta), onde \theta \in\left\{30^{\circ}, 150^{\circ}, 270^{\circ}\right\}
E) x=2-2 \operatorname{sen}(\theta), onde \theta \in\left\{15^{\circ}, 45^{\circ}, 75^{\circ}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{3}-6x^{2}+9x-1=0
e pede o conjunto das três raízes reais exatas — as alternativas apresentam formas trigonométricas das raízes. Informações relevantes que temos:
  • A equação é um polinômio cúbico com coeficiente do termo quadrático não nulo.
  • Foi sugerida a translação y=x-2 para eliminar o termo quadrático.
  • As alternativas escrevem as raízes como x na forma 2+2\,\operatorname{sen}(\theta), 1+2\,\operatorname{sen}(\theta), etc., com ângulos dados em graus.
    O que o enunciado pede: identificar qual alternativa (A, B, C, D ou E) descreve corretamente as três raízes reais da equação.

Passo 2

Aplicar a mudança de variável por translação y=x-2. Vou substituir x=y+2 na equação e expandir passo a passo:
x^{3}-6x^{2}+9x-1=(y+2)^{3}-6(y+2)^{2}+9(y+2)-1.
Calculo os termos separados:
(y+2)^{3}=y^{3}+6y^{2}+12y+8,
6(y+2)^{2}=6(y^{2}+4y+4)=6y^{2}+24y+24,
9(y+2)=9y+18.
Agora substituo e somo/subtraio:
y^{3}+6y^{2}+12y+8-(6y^{2}+24y+24)+(9y+18)-1.
Agrupando termos semelhantes:
  • y^{3} permanece;
  • 6y^{2}-6y^{2}=0 (o termo quadrático foi eliminado);
  • 12y-24y+9y=-3y;
  • 8-24+18-1=1.
    Logo a equação reduzida é
y^{3}-3y+1=0.

Passo 3

Agora uso uma substituição trigonométrica clássica para cúbicas do tipo t^{3}-3t+\text{const}=0. A identidade do seno do triplo ângulo é
\operatorname{sen}(3\theta)=3\operatorname{sen}\theta-4\operatorname{sen}^{3}\theta.
Reescrevendo,
4\operatorname{sen}^{3}\theta-3\operatorname{sen}\theta=-\operatorname{sen}(3\theta).
Se eu definir
y=2\operatorname{sen}\theta,
então
y^{3}=8\operatorname{sen}^{3}\theta,\qquad -3y=-6\operatorname{sen}\theta.
Substituindo em y^{3}-3y+1=0:
8\operatorname{sen}^{3}\theta-6\operatorname{sen}\theta+1=0.
Factorizo 2:
2\bigl(4\operatorname{sen}^{3}\theta-3\operatorname{sen}\theta\bigr)+1=0.
Usando a identidade anterior, 4\operatorname{sen}^{3}\theta-3\operatorname{sen}\theta=-\operatorname{sen}(3\theta), obtenho
2\bigl(-\operatorname{sen}(3\theta)\bigr)+1=0\quad\Longrightarrow\quad -2\operatorname{sen}(3\theta)+1=0.
Portanto
\operatorname{sen}(3\theta)=\tfrac{1}{2}.
Assim, qualquer \theta que satisfaça \operatorname{sen}(3\theta)=\tfrac{1}{2} fornece uma solução y=2\operatorname{sen}\theta da cúbica reduzida.

Passo 4

Resolvo \operatorname{sen}(3\theta)=\tfrac{1}{2} em graus. As soluções gerais são
3\theta=30^{\circ}+360^{\circ}k\quad\text{ou}\quad 3\theta=150^{\circ}+360^{\circ}k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 3:
\theta=10^{\circ}+120^{\circ}k\quad\text{ou}\quad \theta=50^{\circ}+120^{\circ}k.
Isso produz infinitas soluções, mas como a substituição y=2\operatorname{sen}\theta dá um conjunto periódico de valores, precisamos escolher três valores de \theta que gerem as três raízes reais distintas do polinômio cúbico (lembre que um cúbico com coeficientes reais tem no máximo três raízes reais e aqui, pela forma trigonométrica, obtemos três reais distintas).
Escolhas naturais geradas pelas fórmulas são as sequências:
  • primeira sequência: \theta=10^{\circ},130^{\circ},250^{\circ},\dots,
  • segunda sequência: \theta=50^{\circ},170^{\circ},290^{\circ},\dots.
Mas atenção: algumas destas escolhas dão o mesmo valor de \operatorname{sen}\theta, por exemplo \operatorname{sen}130^{\circ}=\operatorname{sen}50^{\circ} (pois \operatorname{sen}(180^{\circ}-\alpha)=\operatorname{sen}\alpha), o que geraria raízes repetidas, não as três distintas que procuramos. Precisamos escolher três \theta (entre as soluções gerais acima) que produzam três valores distintos de \operatorname{sen}\theta.
Uma escolha que dá três valores distintos é
\theta_{1}=10^{\circ}\quad(\text{da primeira sequência, }k=0),ê
\theta_{2}=50^{\circ}\quad(\text{da segunda sequência, }k=0),ê
\theta_{3}=-70^{\circ}\quad(\text{que é }290^{\circ}\text{ da segunda sequência, }k=2).éê
Verificações rápidas de unicidade:
  • \operatorname{sen}10^{\circ}, \operatorname{sen}50^{\circ} e \operatorname{sen}(-70^{\circ}) são três números distintos;
  • se tivéssemos escolhido \theta=130^{\circ} em vez de -70^{\circ}, notaríamos que \operatorname{sen}130^{\circ}=\operatorname{sen}50^{\circ} (duplicação), logo essa escolha não fornece três raízes distintas.
Portanto as três soluções para y são
y=2\operatorname{sen}(10^{\circ}),\qquad y=2\operatorname{sen}(50^{\circ}),\qquad y=2\operatorname{sen}(-70^{\circ}).

Passo 5

Volto para a variável original x. Lembre que y=x-2, então
x=2+y=2+2\operatorname{sen}\theta.
Substituindo os três valores de \theta que encontramos, as três raízes reais de x^{3}-6x^{2}+9x-1=0 são
x=2+2\operatorname{sen}(10^{\circ}),\qquad x=2+2\operatorname{sen}(50^{\circ}),\qquad x=2+2\operatorname{sen}(-70^{\circ}).
Isto corresponde exatamente à alternativa B do enunciado.

Resposta

B) x=2+2\operatorname{sen}(\theta), onde \theta\in\{10^{\circ},50^{\circ},-70^{\circ}\}