Problema 23. Seja, A e B duas famílias de conjuntos tais que A \subset B. Mostre que
\bigcup A \subset \bigcup B.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem duas famílias (coleções) de conjuntos A e B tais que \;A \subset B\;.
  • Precisamos mostrar a inclusão pedida: \displaystyle \bigcup A \subset \bigcup B.
Observações sobre as palavras do enunciado (para não haver confusão):
  • “Família de conjuntos” significa que A e B são conjuntos cujos elementos são eles mesmos conjuntos.
  • A relação \;A \subset B\; significa que todo elemento de A é também elemento de B; em linguagem lógica: \forall S\; (S\in A \Rightarrow S\in B).
  • A união de uma família A, denotada \bigcup A, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos que estão em A. Em símbolos: x\in \bigcup A \iff \exists S\; (S\in A \\ \wedge\\ x\in S).

Passo 2

Vou usar o método padrão para provar inclusões entre conjuntos: escolher um elemento arbitrário do conjunto à esquerda e mostrar que ele pertence ao conjunto da direita. Esse método é chamado “element-chasing” (caça de elemento) e é muito útil em provas com uniões, interseções e subconjuntos.

Passo 3

Começo a prova. Tome um elemento arbitrário
x \in \bigcup A.
Por ser arbitrário, ao final poderemos concluir que todos os elementos de \bigcup A estão em \bigcup B.

Passo 4

Pelo entendimento da união (definição citada no Passo 1), da afirmação \;x\in \bigcup A\; segue que existe um conjunto membro de A que contém x. Em símbolos:
\exists S\; (S\in A \\ \wedge\\ x\in S).
Denotemos esse conjunto por \;S\; para clareza: existe S tal que S\in A e x\in S.

Passo 5

Agora usemos a hipótese \;A \subset B\;. Como S\in A e A\subset B, obtemos
S\in B.
Isto é, o mesmo conjunto S que continha x e pertencia a A também pertence a B.

Passo 6

Como S\in B e x\in S, pela definição da união de B temos
x\in \bigcup B.
Portanto, partindo de um x arbitrário em \bigcup A conseguimos mostrar que x\in \bigcup B.

Passo 7

Concluímos a inclusão procurando: mostramos que todo elemento de \bigcup A pertence a \bigcup B. Em linguagem de conjuntos:
\bigcup A \subset \bigcup B.
Comentário final rápido e prático: a prova é curta porque a ideia é direta — um elemento que entra na união de A entra porque pertence a algum membro de A; esse membro também está em B pela hipótese, então o elemento entra na união de B. Esse padrão aparece sempre que trabalhamos com uniões e inclusões de famílias.

Resposta

\displaystyle \bigcup A \subset \bigcup B

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