Problema 23. Seja,
e
duas famílias de conjuntos tais que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Existem duas famílias (coleções) de conjuntos
e tais que . - Precisamos mostrar a inclusão pedida:
.
Observações sobre as palavras do enunciado (para não haver confusão):
- “Família de conjuntos” significa que
e são conjuntos cujos elementos são eles mesmos conjuntos. - A relação
significa que todo elemento de é também elemento de ; em linguagem lógica: - A união de uma família
, denotada , é o conjunto de todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos que estão em . Em símbolos:
Passo 2
Vou usar o método padrão para provar inclusões entre conjuntos: escolher um elemento arbitrário do conjunto à esquerda e mostrar que ele pertence ao conjunto da direita. Esse método é chamado “element-chasing” (caça de elemento) e é muito útil em provas com uniões, interseções e subconjuntos.
Passo 3
Começo a prova. Tome um elemento arbitrário
Por ser arbitrário, ao final poderemos concluir que todos os elementos de
estão em
.
Passo 4
Pelo entendimento da união (definição citada no Passo 1), da afirmação
segue que existe um conjunto membro de
que contém
. Em símbolos:
Denotemos esse conjunto por
para clareza: existe
tal que
e
.
Passo 5
Agora usemos a hipótese
. Como
e
, obtemos
Isto é, o mesmo conjunto
que continha
e pertencia a
também pertence a
.
Passo 6
Como
e
, pela definição da união de
temos
Portanto, partindo de um
arbitrário em
conseguimos mostrar que
.
Passo 7
Concluímos a inclusão procurando: mostramos que todo elemento de
pertence a
. Em linguagem de conjuntos:
Comentário final rápido e prático: a prova é curta porque a ideia é direta — um elemento que entra na união de
entra porque pertence a algum membro de
; esse membro também está em
pela hipótese, então o elemento entra na união de
. Esse padrão aparece sempre que trabalhamos com uniões e inclusões de famílias.