Problema 22. Dê o exemplo de dois conjuntos
tais que
Passo 1
O enunciado pede um exemplo concreto de dois conjuntos
e
tais que
Não há outros dados numéricos no enunciado — só a exigência de fornecer dois conjuntos que fazem a desigualdade acontecer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a notação usada (aulas rápidas, passo a passo):
- Para um conjunto qualquer
, (lê-se “conjunto das partes de ” ou “power set de ”) é o conjunto de todos os subconjuntos de . Por exemplo, se então . - A união de conjuntos
é o conjunto de elementos que estão em ou em (ou em ambos).
Agora uma observação geral útil que sempre vale: para quaisquer conjuntos
e
temos
Prova curta e clara: tome
. Então
ou
. Se
então
, logo
; mesma conclusão se
. Portanto
. Isso prova a inclusão.
Passo 3
Por que, apesar da inclusão acima, pode haver desigualdade estrita? A ideia é simples: existem subconjuntos de
que não são subconjuntos de
nem de
isoladamente. Um exemplo típico é o próprio conjunto
: ele pertence a
por definição, mas pode não pertencer nem a
nem a
se
e
tiverem elementos que o outro não tem.
Explicando melhor: se existir algum elemento
e algum
, então
não é subconjunto nem de
nem de
, portanto
Isso garante a desigualdade estrita.
Observação adicional (útil para a prova): a igualdade
ocorre exatamente quando um dos conjuntos está contido no outro; isto é, quando
ou
. Rápida justificativa:
- Se
então , logo . - Se
então, em particular, , então ou ; isso implica ou .
Passo 4
Agora um exemplo explícito e simples, bem mastigado (como você pediu): escolha conjuntos com um elemento distinto cada um. Por exemplo
Calcule as partes:
A união dessas duas power sets é
Por outro lado,
Comparando, vemos que
mas
. Logo
Passo 5
Resumo e conclusão prática: a inclusão
é sempre verdadeira, mas é estrita sempre que
e
têm elementos exclusivos (isto é, quando nenhum está contido no outro). O exemplo mínimo e claro que atende ao pedido é dado acima.
Força — já tá com um exemplo pronto e a explicação para entender por que isso acontece. Você manda outro exercício que eu te explico assim passo a passo também!