Problema 22. Dê o exemplo de dois conjuntos A, B tais que \wp(A) \cup \wp(B) \neq \wp(A \cup B)

Passo 1

O enunciado pede um exemplo concreto de dois conjuntos A e B tais que
\wp(A)\cup\wp(B)\neq\wp(A\cup B).
Não há outros dados numéricos no enunciado — só a exigência de fornecer dois conjuntos que fazem a desigualdade acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a notação usada (aulas rápidas, passo a passo):
  • Para um conjunto qualquer X, \wp(X) (lê-se “conjunto das partes de X” ou “power set de X”) é o conjunto de todos os subconjuntos de X. Por exemplo, se X=\{a\} então \wp(X)=\{\varnothing,\{a\}\}.
  • A união de conjuntos U\cup V é o conjunto de elementos que estão em U ou em V (ou em ambos).
Agora uma observação geral útil que sempre vale: para quaisquer conjuntos A e B temos
\wp(A)\cup\wp(B)\subseteq\wp(A\cup B).
Prova curta e clara: tome S\in\wp(A)\cup\wp(B). Então S\in\wp(A) ou S\in\wp(B). Se S\in\wp(A) então S\subseteq A, logo S\subseteq A\cup B; mesma conclusão se S\subseteq B. Portanto S\in\wp(A\cup B). Isso prova a inclusão.

Passo 3

Por que, apesar da inclusão acima, pode haver desigualdade estrita? A ideia é simples: existem subconjuntos de A\cup B que não são subconjuntos de A nem de B isoladamente. Um exemplo típico é o próprio conjunto A\cup B: ele pertence a \wp(A\cup B) por definição, mas pode não pertencer nem a \wp(A) nem a \wp(B) se A e B tiverem elementos que o outro não tem.
Explicando melhor: se existir algum elemento x\in A\setminus B e algum y\in B\setminus A, então A\cup B não é subconjunto nem de A nem de B, portanto
A\cup B\in\wp(A\cup B)\quad\text{e}\quad A\cup B\notin\wp(A)\cup\wp(B).
Isso garante a desigualdade estrita.
Observação adicional (útil para a prova): a igualdade \wp(A)\cup\wp(B)=\wp(A\cup B) ocorre exatamente quando um dos conjuntos está contido no outro; isto é, quando A\subseteq B ou B\subseteq A. Rápida justificativa:
  • Se A\subseteq B então \wp(A)\subseteq\wp(B), logo \wp(A)\cup\wp(B)=\wp(B)=\wp(A\cup B).
  • Se \wp(A)\cup\wp(B)=\wp(A\cup B) então, em particular, A\cup B\in\wp(A)\cup\wp(B), então A\cup B\subseteq A ou A\cup B\subseteq B; isso implica B\subseteq A ou A\subseteq B.

Passo 4

Agora um exemplo explícito e simples, bem mastigado (como você pediu): escolha conjuntos com um elemento distinto cada um. Por exemplo
A=\{1\},\qquad B=\{2\}.
Calcule as partes:
\wp(A)=\{\varnothing,\{1\}\}, \qquad \wp(B)=\{\varnothing,\{2\}\}.
A união dessas duas power sets é
\wp(A)\cup\wp(B)=\{\varnothing,\{1\},\{2\}\}.
Por outro lado,
A\cup B=\{1,2\}, \qquad \wp(A\cup B)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.
Comparando, vemos que \{1,2\}\in\wp(A\cup B) mas \{1,2\}\notin\wp(A)\cup\wp(B). Logo
\wp(A)\cup\wp(B)\neq\wp(A\cup B).

Passo 5

Resumo e conclusão prática: a inclusão \wp(A)\cup\wp(B)\subseteq\wp(A\cup B) é sempre verdadeira, mas é estrita sempre que A e B têm elementos exclusivos (isto é, quando nenhum está contido no outro). O exemplo mínimo e claro que atende ao pedido é dado acima.
Força — já tá com um exemplo pronto e a explicação para entender por que isso acontece. Você manda outro exercício que eu te explico assim passo a passo também!

Resposta

A=\{1\},\; B=\{2\}

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