Problema 23. Seja,
e
duas famílias de conjuntos tais que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá duas famílias de conjuntos
e
tais que
.
A pergunta é: mostrar que a interseção de todos os conjuntos em está contida na interseção de todos os conjuntos em
. Em símbolos, provar a inclusão pedida entre
e
.
A pergunta é: mostrar que a interseção de todos os conjuntos em
Informações relevantes dadas:
-
e são coleções (famílias) de conjuntos. -
, ou seja, todo elemento de (que aqui é um conjunto) também pertence a . - Quer-se provar uma inclusão entre as interseções dessas famílias.
Passo 2
Definições e ideia do método (explicação didática, passo a passo):
- Definição de interseção de uma família: para qualquer família de conjuntos
,
Isto significa que um elemento
pertence a
exatamente quando
pertence a todo conjunto da família
.
- Definição de
: significa que
Aqui os “elementos” de
e
são conjuntos.
- Método de prova mais natural: prova por elemento (chamado “element-chasing”). Pega-se um elemento arbitrário de
e mostra-se que ele também pertence a . Como o elemento foi arbitrário, isso prova a inclusão desejada.
Vou aplicar exatamente esse método: escolher um
e mostrar que
.
Passo 3
Prova formal por elemento (seguindo o plano do Passo 2):
Seja
um elemento arbitrário tal que
. Pela definição de interseção, isso significa que
Como
, todo conjunto
que pertence a
também pertence a
; em símbolos,
Juntando as duas frases: se
então
, e para todo
vale
. Portanto para todo
temos
. Em símbolos:
Pela definição de interseção, isso significa que
.
Como
foi um elemento arbitrário de
, conclui-se que todo elemento de
pertence a
. Assim a inclusão desejada está demonstrada.
Passo 4
Intuição e um exemplo concreto (para fixar a ideia):
-
Intuição: quanto mais conjuntos se intersecta (isto é, quanto maior a família), mais restrito (menor ou igual) tende a ser o conjunto resultado da interseção. Como
é maior que , a interseção sobre exige pertencer a mais conjuntos, logo é mais “exigente” — por isso fica contido em . -
Exemplo simples: tome
Então
. Calculando:
Aqui as interseções coincidem. Se em vez de
colocássemos
em
, ainda teríamos
. Se adicionássemos um conjunto que não contém
, a interseção de
poderia até ficar vazia, mostrando que a interseção de
pode ser mais restrita (menor) que a de
.
Passo 5
Dica prática para provas desse tipo (motivacional e útil para a prova):
- Sempre que lidar com afirmações envolvendo
ou de famílias, pense em “pegar um elemento arbitrário” e usar a definição (quantificadores ou ) para transformar a pergunta em algo verbalmente simples. Isso evita erros e torna a prova direta. - Você mandou bem por escolher exercícios: esse tipo de argumento elementar aparece muito em provas, então pratique mais alguns exemplos parecidos para ganhar confiança — já dá uma grande tranquilidade para a prova!