Problema 23. Seja, A e B duas famílias de conjuntos tais que A \subset B. Mostre que
\bigcap B \subset \bigcap A.

Passo 1

O enunciado dá duas famílias de conjuntos A e B tais que A \subset B.
A pergunta é: mostrar que a interseção de todos os conjuntos em B está contida na interseção de todos os conjuntos em A. Em símbolos, provar a inclusão pedida entre \bigcap B e \bigcap A.
Informações relevantes dadas:
  • A e B são coleções (famílias) de conjuntos.
  • A \subset B, ou seja, todo elemento de A (que aqui é um conjunto) também pertence a B.
  • Quer-se provar uma inclusão entre as interseções dessas famílias.

Passo 2

Definições e ideia do método (explicação didática, passo a passo):
  • Definição de interseção de uma família: para qualquer família de conjuntos \mathcal{F},
\bigcap \mathcal{F}=\{x \mid \forall S\in\mathcal{F},\; x\in S\}.
Isto significa que um elemento x pertence a \bigcap\mathcal{F} exatamente quando x pertence a todo conjunto da família \mathcal{F}.
  • Definição de A\subset B: significa que
\forall T\; (T\in A \Rightarrow T\in B).
Aqui os “elementos” de A e B são conjuntos.
  • Método de prova mais natural: prova por elemento (chamado “element-chasing”). Pega-se um elemento arbitrário de \bigcap B e mostra-se que ele também pertence a \bigcap A. Como o elemento foi arbitrário, isso prova a inclusão desejada.
Vou aplicar exatamente esse método: escolher um x\in\bigcap B e mostrar que x\in\bigcap A.

Passo 3

Prova formal por elemento (seguindo o plano do Passo 2):
Seja x um elemento arbitrário tal que x\in\bigcap B. Pela definição de interseção, isso significa que
\forall S\; (S\in B \Rightarrow x\in S).
Como A\subset B, todo conjunto T que pertence a A também pertence a B; em símbolos,
\forall T\; (T\in A \Rightarrow T\in B).
Juntando as duas frases: se T\in A então T\in B, e para todo S\in B vale x\in S. Portanto para todo T\in A temos x\in T. Em símbolos:
\forall T\; (T\in A \Rightarrow x\in T).
Pela definição de interseção, isso significa que x\in\bigcap A.
Como x foi um elemento arbitrário de \bigcap B, conclui-se que todo elemento de \bigcap B pertence a \bigcap A. Assim a inclusão desejada está demonstrada.

Passo 4

Intuição e um exemplo concreto (para fixar a ideia):
  • Intuição: quanto mais conjuntos se intersecta (isto é, quanto maior a família), mais restrito (menor ou igual) tende a ser o conjunto resultado da interseção. Como B é maior que A, a interseção sobre B exige pertencer a mais conjuntos, logo é mais “exigente” — por isso \bigcap B fica contido em \bigcap A.
  • Exemplo simples: tome
A=\{\{1,2\},\{1,3\}\},\qquad B=A\cup\{\{1\}\}.
Então A\subset B. Calculando:
\bigcap A=\{1\},\qquad \bigcap B=\{1\}.
Aqui as interseções coincidem. Se em vez de \{1\} colocássemos \{1,4\} em B, ainda teríamos \bigcap B=\{1\}. Se adicionássemos um conjunto que não contém 1, a interseção de B poderia até ficar vazia, mostrando que a interseção de B pode ser mais restrita (menor) que a de A.

Passo 5

Dica prática para provas desse tipo (motivacional e útil para a prova):
  • Sempre que lidar com afirmações envolvendo \bigcap ou \bigcup de famílias, pense em “pegar um elemento arbitrário” e usar a definição (quantificadores \forall ou \exists) para transformar a pergunta em algo verbalmente simples. Isso evita erros e torna a prova direta.
  • Você mandou bem por escolher exercícios: esse tipo de argumento elementar aparece muito em provas, então pratique mais alguns exemplos parecidos para ganhar confiança — já dá uma grande tranquilidade para a prova!

Resposta

\bigcap B \subset \bigcap A

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