Problema 24. Mostre que o produto misto satisfaz as propriedades: Comente o significado geométrico do sinal do produto misto.
\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]= [\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}]=[\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar a igualdade entre os produtos mistos cíclicos [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = [\vec{v},\vec{w},\vec{u}] = [\vec{w},\vec{u},\vec{v}].
  • Comentar o significado geométrico do sinal do produto misto.
Informações dadas (variáveis e objetos que vamos usar):
  • \vec{u},\vec{v},\vec{w} são vetores em \mathbb{R}^3.
  • O produto misto é definido por [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) (vamos usar essa definição e a sua expressão como determinante).

Passo 2

Definição e expressão em componentes: o produto misto pode ser escrito como determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores. Se
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),\qquad \vec{w}=(w_1,w_2,w_3),
então, por definição e desenvolvimento por componentes,
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = \det\begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \\[4pt] u_2 & v_2 & w_2 \\[4pt] u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix}.
Explicação curta: expandindo \vec{v}\times\vec{w} e fazendo o produto escalar com \vec{u} obtém-se exatamente o determinante acima.]

Passo 3

Propriedade dos determinantes usada: permutar ciclicamente as colunas de uma matriz 3\times3 corresponde a aplicar a permutação cíclica (1\;2\;3) às colunas. A paridade de uma ciclo de comprimento 3 é par, porque uma 3-ciclo pode ser escrita como duas transposições (por exemplo (1\;2\;3)=(1\;3)(1\;2)). O determinante muda de sinal a cada transposição de duas colunas, logo duas transposições deixam o determinante inalterado. Portanto o determinante é invariante por uma permutação cíclica das colunas.

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo anterior às colunas formadas por \vec{u},\vec{v},\vec{w} obtemos
\det\begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \\\ u_2 & v_2 & w_2 \\\ u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} v_1 & w_1 & u_1 \\\ v_2 & w_2 & u_2 \\\ v_3 & w_3 & u_3 \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} w_1 & u_1 & v_1 \\\ w_2 & u_2 & v_2 \\\ w_3 & u_3 & v_3 \end{pmatrix}.
Convertendo de volta para a notação de produto misto isso dá exatamente
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = [\vec{v},\vec{w},\vec{u}] = [\vec{w},\vec{u},\vec{v}],
que é a igualdade que queríamos demonstrar.

Passo 5

Interpretação geométrica do valor absoluto: a expressão \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) tem uma leitura geométrica direta.
  • O vetor \vec{v}\times\vec{w} tem módulo igual à área do paralelogramo gerado por \vec{v} e \vec{w}, e direção ortogonal ao plano de \vec{v} e \vec{w} (seguindo a regra da mão direita).
  • O dot product \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) mede a componente de \vec{u} nessa direção ortogonal multiplicada pela área da base, isto é, dá a altura vezes a área da base. Assim
\bigl|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\bigr|
é o volume do paralelepípedo determinado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Passo 6

Interpretação do sinal: o produto misto pode ser positivo, negativo ou zero.
  • Se [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]>0, diz-se que o triplo (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) tem orientação positiva (ou é uma base de mão direita): seguindo a regra da mão direita, o vetor \vec{v}\times\vec{w} aponta na mesma direção “positiva” que a componente de \vec{u}.
  • Se [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]<0, a orientação é negativa (ou mão esquerda): geometricamente, \vec{u} tem componente contrária à direção de \vec{v}\times\vec{w}.
  • Se [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0, os vetores são coplanares (o volume é zero).
Exemplo rápido para fixar: com as bases canónicas \vec{e}_1=(1,0,0),\vec{e}_2=(0,1,0),\vec{e}_3=(0,0,1) tem-se
[\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3]=1>0,
ou seja, (\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) é uma base de mão direita. Se permutar duas vetores, o sinal muda (pois trocar duas colunas troca a paridade), mostrando a relação entre permutações e sinal.

Passo 7

Resumo da demonstração e da interpretação (curto e prático): a igualdade entre os produtos mistos cíclicos decorre da igualdade dos determinantes quando se aplica uma permutação cíclica às colunas; geometricamente o módulo do produto misto é o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores e o sinal informa a orientação (mão direita positiva, mão esquerda negativa).

Resposta

[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = [\vec{v},\vec{w},\vec{u}] = [\vec{w},\vec{u},\vec{v}]
|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]| é o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}; o sinal indica a orientação (positivo = orientação de mão direita, negativo = orientação de mão esquerda).

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