Problema 28 Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente escolha dois números reais cuja soma vale 8 de modo que o produto seja máximo. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, que podemos fazer usando derivada ou usando a desigualdade AM–GM (média aritmética >= média geométrica).

Passo 2

Vamos chamar os números de x e y. Como x+y=8, expressamos um em função do outro, por exemplo
y = 8 - x
O produto é
f(x) = x,y = x,(8 - x) = 8x - x^2

Passo 3

Para achar o extremo de f(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
f'(x) = 8 - 2x,
f'(x)=0 Longrightarrow 8 - 2x = 0 Longrightarrow x = 4

Passo 4

Verificamos que é máximo observando a segunda derivada:
f''(x) = -2 < 0,
ou seja, f é côncava para baixo e x=4 realmente dá máximo.

Passo 5

Como x=4, temos
y = 8 - x = 8 - 4 = 4
Portanto, os dois números são iguais e valem 4.

Resposta

Os números são ,4 e ,4, cujo produto máximo é 16.

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