Problema 28 Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente escolha dois números reais cuja soma vale
de modo que o produto seja máximo. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, que podemos fazer usando derivada ou usando a desigualdade AM–GM (média aritmética
média geométrica).
Passo 2
Vamos chamar os números de
e
. Como
, expressamos um em função do outro, por exemplo
O produto é
Passo 3
Para achar o extremo de
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 4
Verificamos que é máximo observando a segunda derivada:
ou seja,
é côncava para baixo e
realmente dá máximo.
Passo 5
Como
, temos
Portanto, os dois números são iguais e valem
.
Resposta
Os números são
e
, cujo produto máximo é
.