Problema 27 Dada a função f(x)=1raiz2 x^2-m x+m determine os valores de m in Re para os quais o domínio de f(x) seja real.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1raiz2x^2-m x+m
e pede os valores de minR para que o domínio de f seja todo R. Como o denominador envolve uma raiz, precisamos garantir que o radicando seja positivo para qualquer x real.

Passo 2

Para que a raiz seja real e não anule o denominador, exigimos
2x^2-m x+m>0
para todo xinR. Isso é uma inequação quadrática global.

Passo 3

Sabemos que uma parábola ax^2+bx+c com a>0 é estritamente positiva em R se, e somente se, o seu discriminante for negativo:
De<a<0
Aqui temos a=2>0, b=-m e c=m.

Passo 4

Calculamos o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4cdot 2cdot m = m^2 - 8m = m(m-8)
Para que De<a<0 precisamos de
m(m-8)<0 Long<=ftrightarrow 0<m<8

Passo 5

Portanto, se min(0,8) a expressão 2x^2-mx+m é positiva para todo x, e o domínio de f é R.

Resposta

min(0,8)

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