Exercício 11. (Apostol, capítulo 9.13, exercício 19) Determine constantes a e b tais que a integral abaixo seja tão pequena quanto possível nos casos:
integral0^1(a x+b-f(x))^2 d x
f(x)=(1+x^2)^-1.

Passo 1

O enunciado pede a reta p(x)=a x+b que melhor aproxime, em sentido de mínimos quadrados em L^2[0,1], a função
f(x)=11+x^2
isto é, que minimize
integral0^1l(p(x)-f(x)r)^2dx
Vamos usar as condições de ortogonalidade do resíduo.

Passo 2

Seja o resíduo r(x)=a x+b-f(x). Para mínimo em L^2, r deve ser ortogonal às funções base 1 e x, logo
integral0^1r(x),dx = 0
integral0^1x,r(x),dx = 0
Desenvolvendo essas igualdades obtemos o sistema
aintegral0^1x,dx + bintegral0^11,dx = integral0^1f(x),dx
aintegral0^1x^2,dx + bintegral0^1x,dx = integral0^1x,f(x),dx

Passo 3

Calculamos os momentos básicos:
integral0^11,dx = 1, integral0^1x,dx = tfrac12, integral0^1x^2,dx = tfrac13
E os termos com f:
integral0^1f(x),dx = integral0^111+x^2,dx = pi4
integral0^1x,f(x),dx = integral0^1x1+x^2,dx = 12lnl(1+x^2r)|0^1 = 12ln2

Passo 4

Substituindo no sistema resulta
tfrac12,a + b = pi4
tfrac13,a + tfrac12,b = 12ln2
Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por 6:
a + 2b = pi2
2a + 3b = 3ln2
Da primeira obtemos a = tfracpi2-2b. Substituindo na segunda:
2l(tfracpi2-2br)+3b = 3ln2 Rightarrow pi - b = 3ln2 Rightarrow b = pi - 3ln2
e
a = pi2 - 2l(pi - 3ln2r) = 6ln2 - 3pi2

Resposta

a = 6ln2 - tfrac3pi2, b = pi - 3ln2

Exercícios relacionados