Problema 32.
Escreva a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
Além disso, escreva a equação paramétrica da reta que forma um ângulo de
com a reta
.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no plano:
Pede-se duas coisas:
- Escrever a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto de interseção de
e . - Escrever a equação paramétrica da reta (ou retas) que formam um ângulo de
com a reta .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As inclinações (declives) das retas são
para e para . - A interseção de
e é um ponto do qual as retas pedidas devem passar (no primeiro item) e que usaremos como ponto base para o segundo item (assumirei que as retas que fazem com também passam por esse ponto de interseção, pois é a interpretação mais natural para o exercício).
Passo 2
Calcular o ponto de interseção
de
e
. Igualamos as expressões de
:
Resolvendo para
:
Substituindo em
(ou em
) para obter
:
Portanto o ponto de interseção é
Passo 3
Lembrete didático sobre equação paramétrica de uma reta no plano:
- Uma reta que passa por um ponto
- Se uma reta tem declive (slope)
porque ao aumentar
em a variação de é . - O parâmetro
varia por todos os reais e descreve todos os pontos da reta.]
Passo 4
Construir a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto de interseção [P=(1,2)).
Observação: tanto
quanto
passam por
. Uma escolha natural é escrever a paramétrica da própria
tomando
como ponto-base e usando o vetor direcional de
. Como
tem declive
, um vetor direcional é
. Assim uma equação paramétrica (com parâmetro
) é
(Nota: isso descreve a mesma reta de
.)]
Passo 5
Agora achar as retas que formam um ângulo de
com
e passam por
.
Explicação do processo:
- A reta
tem declive . O ângulo que faz com o eixo é . - Uma reta que forma um ângulo de
com terá ângulo com o eixo igual a , ou seja ou . - O declive
de uma reta que faz ângulo com o eixo é . Portanto precisamos de e .
Passo 6
Calcular
e
usando a fórmula da tangente da soma/diferença:
Tomando
e
, com
e
, temos:
Para
:
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por
):
Para
:
Racionalizando analogamente:
Portanto os declives procurados são
e
.
Passo 7
Construir as equações paramétricas das duas retas que passam por [P=(1,2)) e têm declives
e
. Usando vetores direcionais
e parâmetro
, obtemos:
Para a reta com declive
:
Para a reta com declive (m_{-}=2-\sqrt{3}]:
]