Problema 32.

Escreva a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
r_{1}: y=x+1 \quad \text { e } \quad r_{2}: y=-2 x+4
Além disso, escreva a equação paramétrica da reta que forma um ângulo de 30^{\circ} com a reta r_{1}.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no plano:
r_{1}:\\ y=x+1 \qquad\text{e}\qquad r_{2}:\\ y=-2x+4.
Pede-se duas coisas:
  • Escrever a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto de interseção de r_{1} e r_{2}.
  • Escrever a equação paramétrica da reta (ou retas) que formam um ângulo de 30^\circ com a reta r_{1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As inclinações (declives) das retas são m_{1}=1 para r_{1} e m_{2}=-2 para r_{2}.
  • A interseção de r_{1} e r_{2} é um ponto do qual as retas pedidas devem passar (no primeiro item) e que usaremos como ponto base para o segundo item (assumirei que as retas que fazem 30^\circ com r_{1} também passam por esse ponto de interseção, pois é a interpretação mais natural para o exercício).

Passo 2

Calcular o ponto de interseção P de r_{1} e r_{2}. Igualamos as expressões de y:
x+1 = -2x+4.
Resolvendo para x:
3x = 3 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Substituindo em r_{1} (ou em r_{2}) para obter y:
y = 1+1 = 2.
Portanto o ponto de interseção é
P=(1,2).

Passo 3

Lembrete didático sobre equação paramétrica de uma reta no plano:
  • Uma reta que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0)\) e tem vetor direcional \(\vec{v}=(v_x,v_y)\) pode ser escrita em forma paramétrica como \[\begin{cases} x = x_0 + t\,v_x,\\[4pt] y = y_0 + t\,v_y, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Se uma reta tem declive (slope) m\], um vetor direcional conveniente é \(\vec{v}=(1,m) porque ao aumentar x em 1 a variação de y é m.
  • O parâmetro t varia por todos os reais e descreve todos os pontos da reta.]

Passo 4

Construir a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto de interseção [P=(1,2)).
Observação: tanto r_{1} quanto r_{2} passam por P. Uma escolha natural é escrever a paramétrica da própria r_{1} tomando P como ponto-base e usando o vetor direcional de r_{1}. Como r_{1} tem declive m_{1}=1, um vetor direcional é (1,1). Assim uma equação paramétrica (com parâmetro t) é
\begin{cases} x = 1 + t,\\[4pt] y = 2 + t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.
(Nota: isso descreve a mesma reta de r_{1}\], escrita de modo a enfatizar que passa por \(P=(1,2).)]

Passo 5

Agora achar as retas que formam um ângulo de 30^\circ com r_{1} e passam por P.
Explicação do processo:
  • A reta r_{1} tem declive m_{1}=1. O ângulo que r_{1} faz com o eixo x é \theta_{1}=\arctan(1)=45^\circ.
  • Uma reta que forma um ângulo de 30^\circ com r_{1} terá ângulo com o eixo x igual a \theta=\theta_{1}\pm 30^\circ, ou seja \theta=45^\circ+30^\circ=75^\circ ou \theta=45^\circ-30^\circ=15^\circ.
  • O declive m de uma reta que faz ângulo \theta com o eixo x é m=\tan(\theta). Portanto precisamos de m=\tan(75^\circ) e m=\tan(15^\circ).

Passo 6

Calcular \tan(75^\circ) e \tan(15^\circ) usando a fórmula da tangente da soma/diferença:
\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\,\tan b}.
Tomando a=45^\circ e b=30^\circ, com \tan 45^\circ=1 e \tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, temos:
Para 75^\circ=45^\circ+30^\circ:
\tan(75^\circ)=\frac{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1-\!1\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}+1):
\tan(75^\circ)=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}.
Para 15^\circ=45^\circ-30^\circ:
\tan(15^\circ)=\frac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\!1\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.
Racionalizando analogamente:
\tan(15^\circ)=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=2-\sqrt{3}.
Portanto os declives procurados são m_{+}=2+\sqrt{3} e m_{-}=2-\sqrt{3}.

Passo 7

Construir as equações paramétricas das duas retas que passam por [P=(1,2)) e têm declives m_{+} e m_{-}. Usando vetores direcionais (1,m) e parâmetro t, obtemos:
Para a reta com declive m_{+}=2+\sqrt{3}:
\begin{cases} x = 1 + t,\\[4pt] y = 2 + \bigl(2+\sqrt{3}\bigr)\,t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.
Para a reta com declive (m_{-}=2-\sqrt{3}]:
\begin{cases} x = 1 + t,\\[4pt] y = 2 + \bigl(2-\sqrt{3}\bigr)\,t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

\begin{cases} x = 1 + t,\\[4pt] y = 2 + t, \end{cases}\\ t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x = 1 + t,\\[4pt] y = 2 + \bigl(2+\sqrt{3}\bigr)\,t, \end{cases}\\ t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x = 1 + t,\\[4pt] y = 2 + \bigl(2-\sqrt{3}\bigr)\,t, \end{cases}\\ t\in\mathbb{R}]

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