Problema 42.

A reta definida por
2 x-y-4=0
é tangente a uma hipérbole, cujos focos estão nos pontos
F_{1}=(-3,0), \quad F_{2}=(3,0) .
Obtenha a equação da hipérbole.

Passo 1

O enunciado dá uma reta
2x - y - 4 = 0
que é tangente a uma hipérbole de focos
F_1 = (-3,0),\quad F_2 = (3,0).
Como os focos estão sobre o eixo x, a hipérbole tem equação padrão
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,
com c^2 = a^2 + b^2 e aqui c = 3, ou seja
9 = a^2 + b^2.

Passo 2

Para impor que a reta seja tangente, escrevemos y em função de x:
y = 2x - 4.
Substituímos na hipérbole:
\frac{x^2}{a^2} \;-\;\frac{(2x - 4)^2}{b^2} \;=\;1.
Multiplicando por a^2b^2 obtemos uma equação quadrática em x que deve ter discriminante zero.

Passo 3

Após expandir e recolher termos, a condição de tangência \Delta = 0 leva a
b^2 = 4a^2 - 16.

Passo 4

Usamos agora a^2 + b^2 = 9. Substituindo b^2:
a^2 + (4a^2 - 16) = 9 \quad\Longrightarrow\quad 5a^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 5,
e daí
b^2 = 4\cdot5 - 16 = 4.

Resposta

A equação da hipérbole é
\frac{x^2}{5} \;-\; \frac{y^2}{4} \;=\; 1.

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