Problema 42.
A reta definida por
é tangente a uma hipérbole, cujos focos estão nos pontos
Obtenha a equação da hipérbole.
Passo 1
O enunciado dá uma reta
que é tangente a uma hipérbole de focos
Como os focos estão sobre o eixo
, a hipérbole tem equação padrão
com
e aqui
, ou seja
Passo 2
Para impor que a reta seja tangente, escrevemos
em função de
:
Substituímos na hipérbole:
Multiplicando por
obtemos uma equação quadrática em
que deve ter discriminante zero.
Passo 3
Após expandir e recolher termos, a condição de tangência
leva a
Passo 4
Usamos agora
. Substituindo
:
e daí
Resposta
A equação da hipérbole é